Im Laufe der Jahre habe ich mich daran gewöhnt, dass viele TCS-Theoreme mithilfe der diskreten Fourier-Analyse bewiesen wurden. Die Walsh-Fourier (Hadamard) -Transformation ist in praktisch jedem Teilbereich von TCS nützlich, einschließlich Eigenschaftstests, Pseudozufälligkeit, Kommunikationskomplexität und Quantencomputing. Ich habe mich zwar daran gewöhnt, die Fourier-Analyse von Booleschen Funktionen als sehr nützliches …
Vor einigen Jahren gab es eine Arbeit von Joel Friedman, die sich mit den unteren Schaltkreisgrenzen der Grothendieck-Kohomologie befasste (siehe Artikel: http://arxiv.org/abs/cs/0512008 , http://arxiv.org/abs/cs/0604024) ). Hat diese Denkrichtung neue Einsichten in die boolesche Komplexität gebracht oder bleibt sie eher eine mathematische Neugierde?
Sei eine Boolesche Funktion und betrachte f als eine Funktion von bis . In dieser Sprache ist die Fourier-Expansion von f einfach die Expansion von f in Form von quadratfreien Monomen. (Diese Monome bilden eine Basis für den Raum der reellen Funktionen auf . Die Summe der Quadrate der Koeffizienten …
Der kürzliche und unglaublich glatte Beweis der Sensitivitätsvermutung beruht auf der expliziten * Konstruktion einer Matrix , die rekursiv wie folgt definiert wird: , und für , Insbesondere ist leicht zu erkennen, dass für alle .An∈{−1,0,1}2n×2nAn∈{−1,0,1}2n×2nA_n\in\{-1,0,1\}^{2^n\times 2^n}A1=(0110)A1=(0110)A_1 = \begin{pmatrix} 0&1\\1&0\end{pmatrix}n≥2n≥2n\geq 2An=(An−1In−1In−1−An−1)An=(An−1In−1In−1−An−1)A_{n} = \begin{pmatrix} A_{n-1}&I_{n-1}\\I_{n-1}&-A_{n-1}\end{pmatrix}A2n=nInAn2=nInA_n^2 = n I_nn≥1n≥1n\geq 1 Vielleicht lese …
Der Stand unseres Wissens über allgemeine arithmetische Schaltkreise scheint dem Stand unseres Wissens über boolesche Schaltkreise ähnlich zu sein, dh wir haben keine guten Untergrenzen. Andererseits haben wir Exponentialgrößenuntergrenzen für monotone Boolesche Schaltungen . Was wissen wir über monotone Rechenschaltungen? Haben wir ähnliche gute Untergrenzen für sie? Wenn nicht, was …
In den letzten Monaten habe ich angefangen, mir Vorlesungen über soziale Entscheidungen, den Satz von Arrow und verwandte Ergebnisse zu machen. Nachdem ich die wegweisenden Ergebnisse gelesen hatte, fragte ich mich, was mit partiellen Bestellpräferenzen passiert. Die Antwort ist in der Arbeit von Pini et al. : Teilweise geordnete Präferenzen …
Gibt es eine (sinnvolle) Möglichkeit, eine gleichmäßig zufällige boolesche Funktion deren Grad als reales Polynom höchstens beträgt ?df:{0,1}n→{0,1}f:{0,1}n→{0,1}f:\{0,1\}^n \to \{0,1\}ddd EDIT: Nisan und Szegedy haben gezeigt, dass eine Funktion des Grades von höchstens Koordinaten abhängt , daher können wir annehmen, dass . Die Probleme, wie ich sehe, sind die folgenden: …
Eine grundlegende Eigenschaft von Vektorräumen ist, dass ein Vektorraum der Dimension durch linear unabhängige lineare Nebenbedingungen charakterisiert werden kann - das heißt, es gibt linear unabhängige Vektoren , die zu orthogonal sind .V⊆Fn2V⊆F2nV \subseteq \mathbb{F}_2^nn−dn−dn-dddddddw1,…,wd∈Fn2w1,…,wd∈F2nw_1, \ldots, w_d \in \mathbb{F}_2^nVVV Aus einer Fourier Sicht ist dies äquivalent zu der Aussage , …
Werden alle Funktionen, deren Fouriergewicht sich auf die kleinen Mengen (oder Terme mit niedrigem Grad) konzentriert, von Kreisen berechnet ?A C0AC0\mathsf{AC}^0
Ist es möglich, algorithmisch zu testen, ob eine berechenbare Zahl rational oder ganzzahlig ist? Mit anderen Worten, könnte eine Bibliothek, die berechenbare Zahlen implementiert, die Funktionen bereitstellen, isIntegeroder isRational? Ich vermute, dass es nicht möglich ist und dass dies irgendwie damit zusammenhängt, dass es nicht möglich ist, zu testen, ob …
XORification ist die Technik, um eine Boolesche Funktion oder Formel zu erschweren, indem jede Variable durch das XOR von k ≥ 2 verschiedenen Variablen x 1 ⊕ … ⊕ x k ersetzt wird . xxxk≥2k≥2k\geq 2x1⊕…⊕xkx1⊕…⊕xkx_1 \oplus \ldots \oplus x_k Ich bin mir bewusst, dass diese Technik bei der Komplexität …
Ich werde mein Problem mit einem Beispiel vorstellen. Angenommen, Sie entwerfen eine Prüfung, die aus einer bestimmten Menge von nnn unabhängigen Fragen besteht (die die Kandidaten entweder richtig oder falsch beantworten können). Sie möchten sich für eine Punktzahl entscheiden, die für jede der Fragen vergeben werden soll. Dabei gilt die …
Ich versuche die Komplexität von Funktionen zu verstehen, die über Schwellenwert-Gatter und dies führte mich zu . Insbesondere interessiert mich, was derzeit über das Lernen in , da ich kein Experte auf diesem Gebiet bin.T C 0T C0TC0\mathsf{TC}^0T C0TC0\mathsf{TC}^0 Was ich bisher entdeckt habe, ist: Alle können in quasipolynomialer Zeit …
Einige der Arbeiten zur Empfindlichkeit im Vergleich zur Blockempfindlichkeit zielten darauf ab, Funktionen mit einer möglichst großen Lücke zwischen s ( f)s(f)s(f) und b s ( f)bs(f)bs(f) zu untersuchen, um die Vermutung aufzulösen, dass b s ( f)bs(f)bs(f) nur polynomiell größer ist als s ( f)s(f)s(f) . Was ist mit …
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