Zufallsfunktionen niedrigen Grades als reales Polynom

Gibt es eine (sinnvolle) Möglichkeit, eine gleichmäßig zufällige boolesche Funktion deren Grad als reales Polynom höchstens beträgt ? $f:\{0,1\}^n \to \{0,1\}$ $d$

EDIT: Nisan und Szegedy haben gezeigt, dass eine Funktion des Grades von höchstens Koordinaten abhängt , daher können wir annehmen, dass . Die Probleme, wie ich sehe, sind die folgenden: 1) Auf der einen Seite, wenn wir eine zufällige boolesche Funktion auf Koordinaten auswählen , dann wird ihr Grad nahe an , viel höher als . 2) Wenn wir andererseits jeden Gradkoeffizienten höchstens zufällig auswählen , ist die Funktion nicht boolesch. $d$ $d2^d$ $n \leq d2^d$ $d2^d$ $d2^d$ $d$ $d$

Die Frage ist also: Gibt es eine Möglichkeit, eine Boolesche Funktion mit niedrigem Grad abzutasten, die diese beiden Probleme vermeidet?

randomness boolean-functions bounded-degree

— Igor Shinkar
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Soll die tatsächliche Funktion die Beschränkung eines reellen Polynoms vom Grad auf 0-1 Eingänge sein, oder soll wenn für ein reelles Polynom von grad höchstens ? Oder etwas anderes?

d

$d$

f (x) = 1

$f(x) = 1$

p (x) > 0

$p(x) > 0$

p

$p$

d

$d$

— Joshua Grochow

@ JoshuaGrochow Ich möchte eine Funktion, deren Fourier-Expansion Grad . Das ist Ihre erste Option.

d

$d$

— Igor Shinkar

Was ist dein modell Das Aufschreiben der abgetasteten Funktion dauert Mal, oder wenn Sie die Fourier-Erweiterung ausgeben möchten. Ist eine feste Konstante?

2^{n}

$2^n$

n^{O (d)}

$n^{O(d)}$

d

$d$

— MCH

Ich habe der Frage einige Details hinzugefügt.

— Igor Shinkar

@MCH Wenn eine Funktion vom Grad (mit Nullgewicht über dem Niveau ) ist, kann sie nicht von mehr als Koordinaten abhängen . Dies ist ein Ergebnis von Nisan und Szegedy. Denken Sie an den Sonderfall von . In diesem Fall wissen wir, dass die Funktion von (höchstens) 1 Koordinate abhängt.

d

$d$

d

$d$

d 2^{d}

$d2^d$

d = 1

$d=1$

— Igor Shinkar

Hier ist ein Algorithmus, der die trivialen Versuche schlägt.

Das Folgende ist eine bekannte Tatsache (Übung 1.12 in O'Donnells Buch): Wenn eine Boolesche Funktion mit dem Grad as ist ein Polynom, dann ist jeder Fourier-Koeffizient von , ein ganzzahliges Vielfaches von . Mit Cauchy-Schwarz und Parseval erhält man, dass es höchstens Fourier-Koeffizienten ungleich Null und . $f:\{-1,1\}^n\to\{-1,1\}$ $\le d$ $f$ $\hat{f}(S)$ $2^{-d}$ $4^d$ $\sum_{S}{|\hat{f}(S)|}\le 2^{d}$

Dies legt eine Stichprobenmethode nahe -

Wählen Sie zufällige nicht negative ganze Zahlen für alle Mengen von höchstens , die sich zu summieren . $a_S$ $S\subseteq[n]$ $d$ $\le 4^d$
Sei . $f(x) = \sum_{S}{\frac{a_S}{2^d} \chi_S(x)}$
Stellen Sie sicher, dass ein Boolescher Wert ist. Wenn ja, geben Sie . Ansonsten gehe zurück zu . $f$ $f$ $1$

Beachten Sie, dass für jedes Grad Polynom genau eine Auswahl von Zufallszahlen in Schritt 1 das Polynom . Die Wahrscheinlichkeit für einen bestimmten Grad erhält Polynom Daher müssen wir diesen Prozess höchstens Mal in Erwartung wiederholen , bevor wir anhalten. $\le d$ $f$ $f$ $\le d$

1 / (\binom{(\binom{n}{\leq d}) + 4^{d}}{4^{d}}) = 1 / O (n / d)^{d 4^{d}} .

$1/\binom{\binom{n}{\le d}+4^d}{4^d} =1/O(n/d)^{d4^d}.$

O (n / d)^{d 4^{d}}

$O(n/d)^{d4^d}$

Es bleibt zu zeigen, wie Schritt 3 durchzuführen ist. Man kann . Überprüfen Sie, dass (was von Nisan-Szegedy für jede Boolesche Funktion gelten sollte) und werten Sie dann für alle möglichen Zuordnungen zu den Variablen in . Dies kann in der Zeit . Gur und Tamuz bieten für diese Aufgabe einen viel schnelleren zufälligen Algorithmus an, da dieser Teil jedoch die zeitliche Komplexität nicht dominiert, ist dies ausreichend. $A = \bigcup\{S:a_S\neq 0\}$ $|A| \le d 2^d$ $f$ $A$ $2^{d 2^d}$

Insgesamt ergibt der Algorithmus eine Zufallsstichprobe mit einem Grad Polynom in der Zeit . Unter der Annahme, dass die zeitliche Komplexität . $\le d$ $O(\frac{n}{d})^{d4^d}$ $n \le d2^d$ $2^{O(d^2 4^d)}$

Dies ist kein polynomieller Zeitabtastungsalgorithmus, obwohl er viel schneller ist als das Abtasten einer vollständig zufälligen Funktion (in diesem Fall beträgt die Wahrscheinlichkeit, ein bestimmtes Grad Polynom zu erhalten, ). $\le d$ $1/2^{2^n}$

— Avishay Tal
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Nett! Tatsächlich ergibt dies einen Algorithmus, von dem whp (wrt ) die maximal mögliche Anzahl von Koordinaten ausgibt, von denen die Funktion niedrigen Grades abhängen kann. Nehmen Sie einfach , um ausreichend groß zu sein, probieren Sie viele Funktionen aus und zählen Sie für jede Funktion die Anzahl der einflussreichen Koordinaten. Geben Sie das Maximum aus, das Sie sehen.

d

$d$

n = 10 d 2^{d}

$n = 10d2^{d}$

— Igor Shinkar