Sind alle Funktionen, deren Fouriergewicht sich auf die kleinen Mengen konzentriert, die von AC0-Schaltkreisen berechnet werden?

Werden alle Funktionen, deren Fouriergewicht sich auf die kleinen Mengen (oder Terme mit niedrigem Grad) konzentriert, von Kreisen berechnet ? $\mathsf{AC}^0$

— Stattrav
quelle

Diese Frage klingt interessant, obwohl mir einige Hintergrundinformationen in der Fourier-Analyse fehlen. Ich würde mich über Hinweise auf verwandte Literatur freuen.

— Markus

@ Markus: Dieses Buch 2.0 von Ryan O'Donnell ist eine ausgezeichnete Referenz: contrib.andrew.cmu.edu/~ryanod

— Alessandro Cosentino

fast das Gegenteil von Linial, Mansour, Nissan 1993 ? Aaronsons Ergebnis, Gegenbeispiel zu verallgemeinertem Linial-Nissan scheint nah? Aber imho theres muss eine Möglichkeit sein, das Ergebnis von 1993 irgendwie zu verallgemeinern ... vielleicht in großem

— Stil

eine andere ähnliche Idee anstelle von AC ^ 0, die schwerer zu widerlegen ist, wäre eine unbegrenzte Tiefe, aber Schaltkreise mit begrenzter Anzahl von Gates, die durch eine "kleine" Funktion begrenzt sind, sagen wir Polynom usw ...? auch afaik ist das verhältnis zwischen monotonen schaltungen und fourierkoeffizienten nicht so bekannt ...?

— vzn

siehe auch polylogarithmische Unabhängigkeit Narren AC ^ 0 Schaltungen von braverman

— vzn

Antworten:

Nein. Betrachten Sie die folgende Funktion für : $\{0,1\}^n$ Offensichtlich ist diese Funktion für AC⁰schwierig. Andererseits ist die Funktion nahezu konstant, so dass fast das gesamte Fourier-Spektrum auf der ersten Ebene liegt.

f (x) = x_{0} \land \dots \land x_{n - \sqrt{n} - 1} \land (x_{n - \sqrt{n}} \oplus \dots \oplus x_{n - 1}) .

$f(x) = x_0 \land \cdots \land x_{n-\sqrt{n}-1} \land (x_{n-\sqrt{n}} \oplus \cdots \oplus x_{n-1}).$

Wenn Sie ein symmetrisches Gegen möchten, sollten Diese Funktion ist fast immer gleich, so dass fast das gesamte Fourier-Spektrum auf den ersten beiden Ebenen liegt.

g (x) = x_{0} \oplus [x_{1} \land \dots \land x_{n - \sqrt{n} - 1} \land (x_{n - \sqrt{n}} \oplus \dots \oplus x_{n - 1})] .

$g(x) = x_0 \oplus \left[x_1 \land \cdots \land x_{n-\sqrt{n}-1} \land (x_{n-\sqrt{n}} \oplus \cdots \oplus x_{n-1})\right].$

x_{0}

$x_0$

— Yuval Filmus
quelle

Haben Sie robuste Beispiele, bei denen die Funktion in AC0 nicht angenähert werden kann?

— MCH

Eine Funktion, die sich auf die ersten

-Pegel konzentriert, ist immer in der Nähe einer Funktion, die von den

-Eingängen abhängt. Wenn wir also nur an

-Pegeln interessiert sind, gibt es keine zuverlässigen Beispiele.

O (1)

$O(1)$

O (1)

$O(1)$

O (1)

$O(1)$

— Yuval Filmus

@YuvalFilmus Was bedeutet Fourier-Spektrum-Pegel? Warum ist diese Funktion für

schwierig ?

A C^{0}

$AC^0$

@Arul Ein Fourier-Level besteht aus allen Fourier-Koeffizienten, die Mengen einer bestimmten Größe entsprechen. Wir betrachten sie in aufsteigender Reihenfolge ihrer Größe. Da diese Funktion für AC0 schwierig ist, handelt es sich um eine Übung. Hinweis: Parität ist schwer für AC0.

— Yuval Filmus

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, die Frage anhand der genauen Bedeutung von "klein" und "konzentriert" zu verstehen.

$1-o(1)$ $S$ $1-o(1)$ ${\rm AC^0}$

2) Es gibt einen Satz von Bourgain, dass, wenn die Konzentration deutlich über der der Majoritätsfunktion liegt, die Funktion ungefähr eine Junta ist und daher von O (1) -Variablen abhängt.

$\hat f^2(S)$ $AC^0$ ${\rm polylog} (n)$

$O(\log n)$ $AC^0$

$O(polylog (n))$ $n^{polylog (n)}$

— Gil Kalai
quelle