Niedrigere Schranken für monotone arithmetische Schaltkreise sind einfacher, weil sie Stornierungen verbieten. Andererseits können wir exponentielle Untergrenzen für Schaltkreise, die Boolesche Funktionen berechnen, auch dann nachweisen, wenn monotone reelle Funktionen G: R × R → R als Gatter zulässig sind (siehe z. B. Abschn. 9.6 im Buch ).
a ∧ a = aa ∨ ( a ∧ b ) = a( + , max )( + , min )(+,max). Die Gatter entsprechen dann den vom Algorithmus verwendeten Teilproblemen. Was Jerrum und Snir (in dem Aufsatz von V Vinay) tatsächlich beweisen, ist, dass jeder DP-Algorithmus für das Min Weight Perfect Matching (sowie für das TSP-Problem) exponentiell viele Unterprobleme erzeugen muss. Das Perfect Mathching-Problem ist jedoch kein "DP-Fehler" (es entspricht nicht Bellmans Optimalitätsprinzip ). Die lineare Programmierung (nicht DP) ist für dieses Problem viel besser geeignet.
Also , was über Optimierungsprobleme , die kann durch relativ klein DP Algorithmen gelöst werden - können wir beweisen , untere Schranken für sie auch? Sehr interessant in dieser Hinsicht ist ein altes Ergebnis von Kerr (Satz 6.1 in seiner Doktorarbeit ). Dies impliziert, dass der klassische Floyd-Warshall-DP-Algorithmus für das All-Pairs Shortest Paths-Problem (APSP) optimal ist : -Unterprobleme sind erforderlich. Noch interessanter ist, dass Kerrs Argument sehr einfach ist (viel einfacher als das von Jerrum und Snir verwendete): Es wird nur das Verteilungsaxiom
und die Möglichkeit, Min-Gates zu "töten", indem eines ihrer Argumente auf Auf diese Weise beweist er, dassa + min ( b , c ) = min ( a , b ) + min ( a , c ) 0 n 3 n × n ( + , min )Ω(n3)a+min(b,c)=min(a,b)+min(a,c)0n3Plus-Gatter sind notwendig, um zwei Matrizen über das Semiring zu multiplizieren . In Abschn. In 5.9 des Buches von Aho, Hopcroft und Ullman wird gezeigt, dass dieses Problem dem APSP-Problem entspricht.n×n(+,min)
Eine nächste Frage könnte lauten: Was ist mit dem Problem der Single-Source Shortest Paths (SSSP)? Der Bellman-Ford-DP-Algorithmus verwendet für dieses (scheinbar "einfachere") Problem auch -Tore. Ist das optimal? Bisher ist keine Trennung zwischen diesen beiden Versionen des Problems des kürzesten Pfades bekannt; siehe eine interessante Arbeit von Virginia und Ryan Williams in dieser Richtung. Eine -Untergrenze in -Kreisläufen für SSSP wäre also ein großartiges Ergebnis. Die nächste Frage könnte lauten: Was ist mit den Untergrenzen für Knapsack? In diesem Entwurf werden untere Schranken für Knapsack in einem schwächeren Modell von Kreisen bewiesen, in denenΩ ( n 3 ) ( + , min ) ( + , max ) +O(n3)Ω(n3)(+,min)(+,max)+-tore ist eingeschränkt; im Anhang ist Kerrs Beweis wiedergegeben.