Eine gute Antwort auf diese Frage gibt es wahrscheinlich noch nicht, da es sich um ein relativ junges und sehr aktives Forschungsgebiet handelt. Ingo Wegeners umfassendes Buch über Boolesche Funktionen aus dem Jahr 1987 hat beispielsweise nichts zu diesem Thema (außer der Analyse der Schaltungskomplexität der DFT).
Eine einfache Anschauung oder Vermutung ist, dass große Fourier-Koeffizienten höherer Ordnung das Vorhandensein von Unterfunktionen anzeigen, die viele Eingangsvariablen berücksichtigen müssen und daher viele Gatter erfordern. Das heißt, die Fourier-Expansion ist offensichtlich eine natürliche Methode, um die Härte einer Booleschen Funktion quantitativ zu messen. habe dies nicht direkt bewiesen gesehen aber denke es ist in vielen ergebnissen angedeutet. Beispielsweise kann die untere Grenze von Khrapchenkos mit Fourier-Koeffizienten in Beziehung gesetzt werden. [1]
Eine andere grobe Analogie kann bis zu einem gewissen Grad aus EE oder anderen technischen Bereichen übernommen werden, in denen die Fourier-Analyse in großem Umfang angewendet wird. Es wird häufig für EE-Filter / Signalverarbeitung verwendet . Die Fourier-Koeffizienten repräsentieren ein bestimmtes "Band" des Filters. Die Geschichte dort ist auch, dass "Rauschen" sich in bestimmten Frequenzbereichen zu manifestieren scheint, z. B. niedrig oder hoch. In CS ist eine Analogie zu "Rauschen" "Zufälligkeit", aber auch aus vielen Untersuchungen (die einen Meilenstein in z. B. [4] erreichten) geht hervor, dass Zufälligkeit im Grunde genommen mit Komplexität identisch ist. (In einigen Fällen taucht im selben Kontext auch "Entropie" auf.) Die Fourier-Analyse scheint geeignet zu sein, "Rauschen" auch in CS-Umgebungen zu untersuchen. [2]
Eine andere Intuition oder ein anderes Bild stammt aus der Voting / Choice-Theorie. [2,3] Es ist hilfreich, Boolesche Funktionen so zu analysieren, dass sie Unterkomponenten haben, die "voten" und das Ergebnis beeinflussen. dh die Analyse des Votings ist eine Art Zerlegungssystem für Funktionen. Dies nutzt auch einige Voting-Theorien, die Höhen der mathematischen Analyse erreichten und anscheinend vor der Verwendung vieler Fourier-Analysen von Booleschen Funktionen liegen.
Auch das Konzept der Symmetrie scheint in der Fourier-Analyse von größter Bedeutung zu sein. Je "symmetrischer" die Funktion ist, desto mehr wird der Fourier-Koeffizient aufgehoben und desto "einfacher" ist die Funktion zu berechnen. Aber je "zufälliger" und damit komplexer die Funktion ist, desto weniger heben sich die Koeffizienten auf. mit anderen Worten, Symmetrie und Einfachheit und umgekehrt Asymmetrie und Komplexität in der Funktion scheinen auf eine Weise koordiniert zu sein, die die Fourier-Analyse messen kann.
[1] Zur Fourier-Analyse von Booleschen Funktionen von Bernasconi, Codenotti, Simon
[2] Eine kurze Einführung in die Fourier-Analyse zum Booleschen Würfel (2008) von De Wolf
[3] Einige Themen zur Analyse boolescher Funktionen von O'Donnell
[4] Natürliche Beweise von Razborov & Rudich