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Was ist mit dieser einfachen Fehlerschätzung für lineare PDE?

Sei eine konvexe polygonal begrenzte Lipschitz-Domäne in , sei .R 2 f ∈ L 2 ( Ω )ΩΩ\OmegaR2R2\mathbb R^2f∈L2(Ω)f∈L2(Ω)f \in L^2(\Omega) Dann hat die Lösung des Dirichlet-Problems in , auf eine eindeutige Lösung in und ist gut gestellt, dh für ein konstantes wir haben .Δu=fΔu=f\Delta u = fΩΩ\Omegatraceu=0trace⁡u=0\operatorname{trace} u = …

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Kann ein numerisches Schema verwendet werden, um die Position eines Anfangs- oder Randwertproblems zu bestimmen?

Ich weiß, dass wir mathematische Analysetechniken verwenden können, um zu beweisen, ob ein IVP oder BVP eine Lösung hat, einzigartig ist und kontinuierlich von den Grenz- / Anfangswerten abhängt. Für einige PDEs, insbesondere nichtlineare PDEs, ist es sehr schwierig, wenn nicht unmöglich, eine gute Haltung zu beweisen. Gibt es irgendeine …

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Welche Zeitschriften sollte ich lesen, um über die Fortschritte bei der numerischen Lösung von PDEs auf dem Laufenden zu bleiben?

Ich löse viele PDEs numerisch, aber angewandte Mathematik ist nicht mein Fachgebiet. Ich habe nicht herausgefunden, welche angewandten mathematischen Zeitschriften ich lesen sollte, um mit den jüngsten Entwicklungen auf diesem Gebiet Schritt zu halten. Was sind gute Zeitschriften zu lesen, um mit den jüngsten Entwicklungen bei der numerischen Lösung von …

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Wo finde ich eine gute Referenz für die Stabilitätseigenschaften verschiedener Methoden zur Lösung parabolischer PDEs?

Im Moment habe ich einen Code, der den Crank-Nicholson-Algorithmus verwendet, aber ich denke, dass ich für Zeitüberschreitungen zu einem Algorithmus höherer Ordnung wechseln möchte. Ich weiß, dass der Crank-Nicholson-Algorithmus in der Domäne, in der ich arbeiten möchte, stabil ist, aber ich bin besorgt, dass einige andere Algorithmen dies möglicherweise nicht …

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Warum ist es schwierig, die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung für mehrere Elektronen numerisch zu lösen?

Es scheint, dass Menschen normalerweise die SAE-Näherung (Single Active Electron) verwenden, um sich mit einem Mehrelektronensystem zu befassen und das Problem in ein Einzelelektronenproblem umzuwandeln. Zum Beispiel schließen Menschen bei der numerischen Lösung des Problems einer Heliumatom-Wechselwirkung mit Laserfeldern normalerweise den Elektronen-Elektronen-Effekt durch ein Pseudopotential ein und lösen im Wesentlichen …

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-Konvergenz der Finite-Elemente-Methode, wenn die rechte Seite nur in

Ich weiß , daß die abschnittsweise lineare Finite - Elemente - Näherung uhuhu_h von Δu(x)=f(x)in Uu(x)=0on ∂UΔu(x)=f(x)in Uu(x)=0on ∂U \Delta u(x)=f(x)\quad\text{in }U\\ u(x)=0\quad\text{on }\partial U ∥u−uh∥H10(U)≤Ch∥f∥L2(U)‖u−uh‖H01(U)≤Ch‖f‖L2(U) \|u-u_h\|_{H^1_0(U)}\leq Ch\|f\|_{L^2(U)} UUUf∈L2(U)f∈L2(U)f\in L^2(U) Frage: Wenn , haben wir die folgende analoge Schätzung, bei der eine Ableitung auf beiden Seiten weggenommen wird: f∈H−1(U)∖L2(U)f∈H−1(U)∖L2(U)f\in H^{-1}(U)\setminus …

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Was sagt uns die Stabilitätsanalyse von Von Neumann über nichtlineare Finite-Differenzen-Gleichungen?

Ich lese eine Arbeit [1], in der sie die folgende nichtlineare Gleichung Verwendung von Finite-Differenzen-Methoden lösen . Sie analysieren auch die Stabilität der Schemata mithilfe der Von Neumann-Stabilitätsanalyse. Wie die Autoren erkennen, gilt dies jedoch nur für lineare PDEs. Die Autoren umgehen dies, indem sie den nichtlinearen Term "einfrieren", dh …

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Adaptive Gradientenabstiegsschrittgröße, wenn Sie keine Liniensuche durchführen können

Ich habe eine Zielfunktion EEE von einem Wert abhängt ϕ(x,t=1.0)ϕ(x,t=1.0)\phi(x, t = 1.0), wobei ϕ(x,t)ϕ(x,t)\phi(x, t) die Lösung für eine PDE ist. Ich optimiere EEE durch Gradientenabstieg auf den Anfangszustand der PDE: ϕ(x,t=0.0)ϕ(x,t=0.0)\phi(x, t = 0.0) . Das heißt, ich aktualisiere ϕ(x,t=0.0)ϕ(x,t=0.0)\phi(x, t = 0.0)und dann muss die PDE integriert …

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Raum-Zeit-Finite-Elemente-Diskretisierung für zeitabhängige PDEs

In der FEM-Literatur werden bei der Lösung zeitabhängiger PDEs typischerweise semi-variierende Methoden verwendet. Ich habe keinen vollständig variierenden Ansatz gesehen, bei dem Raum und Zeit von der FEM diskretisiert werden, was möglicherweise die Verwendung unstrukturierter Raum-Zeit-Netze ermöglicht. Obwohl Zeitüberschreitungsmethoden möglicherweise einfacher zu implementieren sind, gibt es einen bestimmten Grund, warum …

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Kann die Linienmethode verwendet werden, um alle PDEs zu diskretisieren?

Ich habe festgestellt, dass die Methode der Linien eine sehr natürliche Art ist, über die Diskretisierung von PDEs nachzudenken. Daher greife ich immer auf diese Denkweise zurück, wenn mir ein neuer Satz von Gleichungen präsentiert wird. Ich habe noch nie eine PDE gesehen, bei der dies nicht funktionieren würde. Ich …

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Referenzanforderung: Strenge Analyse von Algorithmen für PDE und ODE

Ich interessiere mich für Vorschläge für Buchreferenzen zum Thema numerische PDE und ODE, insbesondere für eine strenge Analyse solcher Methoden in einer für professionelle Mathematiker geschriebenen Weise. Es muss nicht sehr umfassend sein, um Hunderte oder Tausende verschiedener Methoden aufzulisten, aber ich würde mich für etwas interessieren, das zumindest die …

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Matlab Pde Toolbox: Zeichnen Sie die Lösung in einer Linie oder auf einer Untervielfalt

Ich verwende die Matlab pde-Toolbox, um eine bestimmte elliptische Gleichung in 2D zu lösen. Die Lösung ist in Ordnung, obwohl ich sie entlang einer bestimmten Linie zeichnen muss, dh um eine planare Schicht aus dem 3D-Netz zu schneiden, das die Lösung darstellt. Ich kann nicht herausfinden, wie die Toolbox-Funktionen intelligent …

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Wie kann ich eine Grenze für die Störschwingungen in der numerischen Lösung der 1D-Advektionsgleichung ableiten?

Angenommen, ich hatte das folgende periodische 1D-Advektionsproblem: Ω=[0,1]u(0,t)=u(1,t)u(x,0)=g(x)g(x)x∗∈(0,1)∂u∂t+c∂u∂x=0∂u∂t+c∂u∂x=0\frac{\partial u}{\partial t} + c\frac{\partial u}{\partial x} = 0 in wobei eine Sprungdiskontinuität bei . Ω=[0,1]Ω=[0,1]\Omega=[0,1] u(0,t)=u(1,t)u(0,t)=u(1,t)u(0,t)=u(1,t) u(x,0)=g(x)u(x,0)=g(x)u(x,0)=g(x)g(x)g(x)g(x)x∗∈(0,1)x∗∈(0,1)x^*\in (0,1) Nach meinem Verständnis treten bei linearen Finite-Differenzen-Schemata höherer Ordnung als erster Ordnung Störschwingungen nahe der Diskontinuität auf, wenn sie über die Zeit weitergeleitet werden, …

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Was ist ein robuster, iterativer Löser für große linear-elastische 3D-Probleme?

Ich tauche in die faszinierende Welt der Finite-Elemente-Analyse ein und möchte ein großes thermomechanisches Problem lösen (nur thermische Pfeilmechanik, kein Feedback).→→\rightarrow Für das mechanische Problem habe ich bereits aus Geoffs Antwort verstanden , dass ich aufgrund der Größe meines Netzes einen iterativen Löser verwenden muss. In Matts Antwort habe ich …

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Welche Fourier-Reihen werden benötigt, um ein 2D-Poisson-Problem mit gemischten Randbedingungen mithilfe der schnellen Fourier-Transformation zu lösen?

Ich habe gehört, dass eine schnelle Fourier-Transformation verwendet werden kann, um das Poisson-Problem zu lösen, wenn die Randbedingungen alle ein Typ sind ... Sinusreihen für Dirichlet, Cosinus für Neumann und beide für periodische. Angenommen, zwei gegenüberliegende Seiten haben periodische Randbedingungen, und die anderen beiden haben Dirichlet-Bedingungen. Kann eine schnelle Fourier-Transformation …

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