Wie kann ich eine Grenze für die Störschwingungen in der numerischen Lösung der 1D-Advektionsgleichung ableiten?

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Angenommen, ich hatte das folgende periodische 1D-Advektionsproblem:

$\frac{\partial u}{\partial t} + c\frac{\partial u}{\partial x} = 0$ in wobei eine Sprungdiskontinuität bei . $\Omega=[0,1]$
$u(0,t)=u(1,t)$
$u(x,0)=g(x)$
$g(x)$ $x^*\in (0,1)$

Nach meinem Verständnis treten bei linearen Finite-Differenzen-Schemata höherer Ordnung als erster Ordnung Störschwingungen nahe der Diskontinuität auf, wenn sie über die Zeit weitergeleitet werden, was zu einer Verzerrung der Lösung von ihrer erwarteten Wellenform führt. Laut Wikipedia-Erklärung scheinen diese Schwingungen typischerweise aufzutreten, wenn eine diskontinuierliche Funktion mit einer endlichen Fourier-Reihe angenähert wird.

Aus irgendeinem Grund kann ich nicht verstehen, wie eine endliche Fourier-Reihe in der Lösung dieser PDE beobachtet werden kann. Wie kann ich insbesondere eine Grenze für das "Over-Shoot" analytisch schätzen?

pde finite-difference advection

— Paul
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Die Aufwindmethode erster Ordnung ist monoton; es werden keine störenden Schwingungen eingeführt. Es ist jedoch nur genau erster Ordnung, was zu einer so großen numerischen Diffusion führt, dass es für viele Zwecke unbrauchbar ist. Der Satz von Godunov besagt, dass lineare räumliche Diskretisierungen höherer Ordnung nicht erster Ordnung sein können. Um die Schwingungen genau zu steuern, verwenden wir TVD- Schemata (Total Variation Diminishing) . TVD-Methoden sind typischerweise auf die Genauigkeit zweiter Ordnung beschränkt. Für eine höhere Ordnung müssen wir entweder unsere Anfrage lockern, was zu TVB-Methoden (Total Variation Bounded) wie (Weighted) Essential Non-Oscillatory ((W) ENO) führt, oder wir müssen die Definition von TVD auf "Maximum-Principle-Preserving" lockern. oder ähnlich, wenn die anfänglichen Extrema in Form einer anfänglich rekonstruierten Lösung vorliegen, was zuspezielle Begrenzungsschemata .

— Jed Brown
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Ich entschuldige mich ... aus irgendeinem Grund hatte ich den Eindruck, dass dies auch für das Schema erster Ordnung gilt. Ich habe die Frage bearbeitet, um diesen Kommentar wiederzugeben.

— Paul

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Die lineare Finite-Differenzen-Diskretisierung eines 1D-Problems mit periodischen Grenzen führt zu einer Diskretisierung der Form

U^{n + 1} = L U^{n}

$U^{n+1} = LU^n$

wobei eine zirkulierende Matrix ist . Die Eigenvektoren einer zirkulierenden Matrix sind diskrete Fourier-Moden (hier ist der Gitterabstand und die Wellenzahl, die von Null bis zur höchsten im Gitter darstellbaren Wellenzahl reicht). Diese Eigenvektoren bilden eine Basis für alle Funktionen, die im Raster dargestellt werden können. Wenn Sie die Lösung in Form dieser diskreten Fourier-Modi ausdrücken, wird die numerische Methode diagonalisiert, dh jede Fourier-Komponente wird bei jedem Schritt mit einem (im Allgemeinen komplexen) Skalarfaktor multipliziert. Der Skalarfaktor wird oft als Verstärkungsfaktor bezeichnet, und was ich gerade beschrieben habe, ist als von Neumann-Analyse bekannt $L$

v_{j} = \exp (i j h ξ)

$v_j = \exp(ijh\xi)$

h

$h$

ξ

$\xi$ . Es ist analog zur Fourier-Analyse von linearen PDEs, bei denen eine Fourier-Basis verwendet wird, um die linearen Differentialoperatoren zu "diagonalisieren".

Schöne Erklärungen finden Sie zum Beispiel im Text von Strikwerda oder LeVeque .

— David Ketcheson
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Ich bin mit der von Neumann-Analyse vertraut. Aber kann ich diese Analyse wirklich verwenden, um eine Grenze für die Störschwingungen abzuleiten?

— Paul

Ich habe hauptsächlich auf Ihre Aussage reagiert. Ich kann anscheinend nicht verstehen, wie eine endliche Fourier-Reihe in der Lösung dieser PDE beobachtet werden kann. Aber ja, Sie können solche Grenzen aus dieser Analyse ziehen. Zum Beispiel könnten Sie sich das Worst-Case-Szenario ansehen, in dem alle Modi konstruktiv interferieren. Dies dürfte jedoch eine sehr pessimistische Grenze sein. In der Praxis habe ich niemanden gesehen, der andere Grenzen als TVD oder TVB herleitet (die ziemlich stark sind und nicht für lineare Schemata gelten).

— David Ketcheson

Sie könnten wahrscheinlich eine interessantere Grenze erhalten, wenn Sie sich die Dispersionsrelation für die Modi mit der höchsten Wellenzahl ansehen. Aber ich habe es noch nie gesehen.

— David Ketcheson

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Nicht alle Störschwingungen sind Gibbs-Phänomene. Sie sehen ähnlich aus, aber es gibt Gibbs-Oszillationen für alle endlichen Fourier-Näherungen diskontinuierlicher Funktionen (sie werden nur kleiner, wenn Sie mehr Terme hinzufügen). Während es nicht oszillierende Darstellungen diskontinuierlicher Funktionen gibt, die sich aus der Lösung endlicher Differenznäherungen an PDEs ergeben, die keine unendlichen Reihen erfordern.

Bathe ( Inf-sup-Test von Aufwindmethoden , PDF) hat eine Arbeit zu diesem Thema für Finite-Elemente-Methoden (Konvektionsdiffusion, IIRC) in 1-D, in der die Konstante für die - Bedingung berechnet und mit Oszillationen in Beziehung gesetzt wird . Sie könnten daraus einen Einblick gewinnen. $\inf$ $\sup$

— Bill Barth
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Dies ist ein nützliches Papier, aber beachten Sie, dass die Inf-Sup-Stabilität keine starke Kontrolle der Schwingungen bietet. Beispielsweise kann keine Inf-sup-Stabilität eine TVD-Methode liefern. Und angesichts des Satzes von Godunov macht es keinen Sinn, nach linearen räumlichen Diskretisierungen zu suchen, wenn wir nicht oszillierende Lösungen größer als erster Ordnung haben wollen. Beachten Sie, dass die Peclet-Nummer in allen Methoden in diesem Dokument enthalten ist und die Methoden auf die Genauigkeit erster Ordnung als , ohne jedoch TVD zu sein.

P e \to \infty

$\mathrm{Pe}\to \infty$

— Jed Brown

Dies sind alles wahre Aussagen. Dies gilt nur für Konvektionsdiffusionsprobleme.

— Bill Barth

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Was Ihre letzte Frage zum Zusammenhang zwischen endlichen Fourier-Reihen und Finite-Elemente-Näherung betrifft: Wenn Sie im Allgemeinen versuchen, eine Funktion mit einem Sprung auf einen endlichen dimensionalen Raum zu projizieren, dessen Basisfunktionen stetig sind, erhalten Sie das Gibbs-Phänomen. Dies gilt, wenn die Basis eine endliche Fourier-Reihe ist (wobei die Basisfunktionen die Sinus- und Cosinuswerte sind) oder wenn die Basis die üblichen Finite-Elemente-Hutfunktionen sind - dies ist eine Eigenschaft der Projektion plus die Ungeeignetheit der Basisfunktionen.

— Wolfgang Bangerth
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Ich bin froh, dass ich mich geirrt habe, da ich eindeutig nicht in der Praxis bin, aber ich kaufe Ihren Kommentar zu Projektionen auf Hutfunktionen nicht ohne weitere Qualifikation. Meine schnelle Berechnung mit meinem alten 1-D-MATLAB-Code aus meiner FEM-Klasse im ersten Jahr zeigt, dass die Projektion der Schrittfunktion auf mit Hutfunktionen nicht oszillierend ist. Haben Sie ein Beispiel, das zeigen kann, was mir fehlt?

H_{0}^{1}

$H_0^1$

— Bill Barth

Keine Ursache. Alter Code ist alt. Ich kann Schwingungen reproduzieren. Vorheriger Kommentar zurückgezogen.

— Bill Barth

Ich bin froh, dass ich helfen konnte :-)

— Wolfgang Bangerth

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Ein Ansatz ist die äquivalente Gleichung, dh die Differentialgleichung, zu der Ihre diskrete Methode die nächste Annäherung ergibt. Dies ist niemals die Differentialgleichung, die Sie lösen wollten. Dann betrachten Sie die asymptotische Lösung der äquivalenten Gleichung für eine Schrittfunktion als Anfangsdaten. Schauen Sie sich Bouche, D., Bonnaud, G. und Ramos, D., 2003 an. Vergleich numerischer Schemata zur Lösung der Advektionsgleichung. Applied Mathematics Letters, 16 (2), S. 147-154.

— Philip Roe
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