-Konvergenz der Finite-Elemente-Methode, wenn die rechte Seite nur in

Ich weiß , daß die abschnittsweise lineare Finite - Elemente - Näherung $u_h$ von

Δ u (x) = f (x) in U u (x) = 0 on \partial U

$\Delta u(x)=f(x)\quad\text{in }U\\ u(x)=0\quad\text{on }\partial U$

‖ u - u_{h} ‖_{H_{0}^{1} (U)} \leq C h ‖ f ‖_{L^{2} (U)}

$\|u-u_h\|_{H^1_0(U)}\leq Ch\|f\|_{L^2(U)}$

U

$U$

f \in L^{2} (U)

$f\in L^2(U)$

Frage: Wenn , haben wir die folgende analoge Schätzung, bei der eine Ableitung auf beiden Seiten weggenommen wird: $f\in H^{-1}(U)\setminus L^2(U)$

‖ u - u_{h} ‖_{L^{2} (U)} \leq C h ‖ f ‖_{H^{- 1} (U)} ?

$\|u-u_{h}\|_{L^2(U)}\leq Ch\|f\|_{H^{-1}(U)}\quad?$

Können Sie Referenzen angeben?

Gedanken: Da wir immer noch , sollte es möglich sein, Konvergenz in . Intuitiv sollte dies sogar mit stückweise konstanten Funktionen möglich sein. $u\in H^1_0(U)$ $L^2(U)$

— Bananach
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Ich denke, dass Sie

‖ u - u_{h} ‖_{0} \leq C h ‖ u - u_{h} ‖_{1}

$\|u-u_h\|_0 \leq C h \|u-u_h\|_1$ aus dem Standard-Nitsche-Trick auch für

u \in H^{1}

$u \in H^1$ . Sie finden dies zB in Braess - Finite Elemente.

— Knl

Ja , dies ist der Standardtrick von Aubin-Nitsche (oder Dualität ). Die Idee ist, die Tatsache zu verwenden, dass sein eigener dualer Raum ist, um die -Norm als Operatornorm zu schreiben Wir müssen also für beliebiges schätzen . Dazu "heben" wir zu indem wir zuerst für beliebiges die Lösung des dualen Problems $L^2$ $L^2$

‖ u ‖_{L^{2}} = sup_{ϕ \in L^{2} ∖ {0}} \frac{(u, ϕ)}{‖ ϕ ‖_{L^{2}}} .

$\|u\|_{L^2} = \sup_{\phi\in L^2\setminus\{0\}} \frac{(u,\phi)}{\|\phi\|_{L^2}}.$

(u - u_{h}, ϕ)

$(u-u_h,\phi)$

ϕ \in L^{2}

$\phi\in L^2$

u - u_{h}

$u-u_h$

H_{0}^{1}

$H^1_0$

ϕ \in L^{2}

$\phi\in L^2$

w_{ϕ} \in H_{0}^{1}

$w_\phi\in H^1_0$

\begin{matrix} (1) & (\nabla w_{ϕ}, \nabla v) = (ϕ, v) for all v \in H_{0}^{1} . \end{matrix}

$\label{eq1}\tag{1} (\nabla w_\phi,\nabla v) =(\phi,v) \qquad\text{for all }v\in H^1_0.$ Unter Verwendung der Standardregelmäßigkeit der Poisson-Gleichung wissen wir, dass

‖ w_{ϕ} ‖_{H^{2}} \leq C ‖ ϕ ‖_{L^{2}} .

$\|w_\phi\|_{H^2}\leq C \|\phi\|_{L^2}.$

Das Einfügen von in und die Verwendung der Galerkin-Orthogonalität für jede Finite-Elemente-Funktion (in Ihrem Fall stückweise linear) ergibt die Schätzung Da dies für alle , ist die Ungleichung immer noch wahr, wenn wir das Infimum über alle stückweise linearen . Wir erhalten daher $v=u-u_h\in H^1_0$ $\eqref{eq1}$ $w_h$

\begin{aligned} (ϕ, u - u_{h}) & = (\nabla w_{ϕ}, \nabla (u - u_{h})) \\ = (\nabla w_{ϕ} - \nabla w_{h}, \nabla (u - u_{h})) \\ \leq C ‖ u - u_{h} ‖_{H^{1}} ‖ w_{ϕ} - w_{h} ‖_{H^{1}} . \end{aligned}

$\begin{aligned} (\phi,u-u_h) &= (\nabla w_\phi,\nabla (u-u_h))\\ &= (\nabla w_\phi-\nabla w_h,\nabla (u-u_h))\\ &\leq C \|u-u_h\|_{H^1}\|w_\phi-w_h\|_{H^1}. \end{aligned}$

w_{h}

$w_h$

w_{h}

$w_h$

\begin{matrix} (2) & ‖ u - u_{h} ‖_{L^{2}} = sup_{ϕ \in L^{2} ∖ {0}} \frac{(u - u_{h}, ϕ)}{‖ ϕ ‖_{L^{2}}} \leq C ‖ u - u_{h} ‖_{H^{1}} sup_{ϕ \in L^{2} ∖ {0}} \frac{inf_{w_{h}} ‖ w_{ϕ} - w_{h} ‖_{H^{1}}}{‖ ϕ ‖_{L^{2}}} . \end{matrix}

$\label{eq2}\tag{2} \|u-u_h\|_{L^2} = \sup_{\phi\in L^2\setminus\{0\}} \frac{(u-u_h,\phi)}{\|\phi\|_{L^2}} \leq C \|u-u_h\|_{H^1} \sup_{\phi\in L^2\setminus\{0\}} \frac{\inf_{w_h}\|w_\phi-w_h\|_{H^1}}{\|\phi\|_{L^2}}.$ Dies ist das Aubin-Nitsche-Lemma .

Der nächste Schritt besteht nun darin, Standardfehlerschätzungen für die beste Finite-Elemente-Näherung von Lösungen für die Poisson-Gleichung zu verwenden. Da nur in , erhalten wir keine bessere Schätzung als Glücklicherweise können wir die Tatsache nutzen, dass eine höhere Regelmäßigkeit aufweist als die rechte Seite anstelle von . In diesem Fall haben wir Einfügen von und in $u$ $H^1$

\begin{matrix} (3) & ‖ u - u_{h} ‖_{H^{1}} \leq inf_{v_{h}} ‖ u - v_{h} ‖_{H^{1}} \leq c ‖ u ‖_{H^{1}} \leq C ‖ f ‖_{H^{- 1}} . \end{matrix}

$\label{eq3}\tag{3} \|u-u_h\|_{H^1} \leq \inf_{v_h}\|u-v_h\|_{H^1} \leq c \|u\|_{H^1} \leq C \|f\|_{H^{-1}}.$

w_{ϕ}

$w_\phi$

ϕ \in L^{2}

$\phi\in L^2$

H^{- 1}

$H^{-1}$

\begin{matrix} (4) & inf_{w_{h}} ‖ w_{ϕ} - w_{h} ‖_{H^{1}} \leq c h ‖ w_{ϕ} ‖_{H^{2}} \leq C h ‖ ϕ ‖_{L^{2}} \end{matrix}

$\label{eq4}\tag{4} \inf_{w_h}\|w_\phi-w_h\|_{H^1} \leq c h \|w_\phi\|_{H^2} \leq C h \|\phi\|_{L^2}$

(3)

$\eqref{eq3}$

(4)

$\eqref{eq4}$

(2)

$\eqref{eq2}$ liefert nun die gewünschte Schätzung.

(Beachten Sie, dass die Standardschätzungen erfordern, dass der Polynomgrad der Finite-Elemente-Näherung und der Sobolev-Exponent der wahren Lösung erfüllen , sodass dieses Argument für die stückweise konstante ( ) Näherung nicht funktioniert . Wir haben auch das - dh, wir haben eine konforme Näherung - was für stückweise Konstanten nicht gilt.) $k$ $m$ $m<k+1$ $k=0$ $u-u_h\in H^1_0$

Da Sie nach einer Referenz gefragt haben: Eine Aussage (auch für negative Sobolev-Räume anstelle von ) finden Sie in Satz 5.8.3 (zusammen mit Satz 5.4.8) in $H^{-s}$ $L^2$

Susanne C. Brenner und L. Ridgway Scott , MR 2373954 Die mathematische Theorie der Finite-Elemente-Methoden , Texte in der angewandten Mathematik ISBN: 978-0-387-75933-3.

— Christian Clason
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Und ich kann unsere glänzende neue Zitierfunktion nutzen :)

— Christian Clason

Vielen Dank für Ihre Antwort, aber kontinuierliche Funktionen sind nicht in eingebettet, ?

H_{0}^{1}

$H^1_0$

— Bananach

Ja, tut mir leid, ich bin dort weggestrichen - sie sind dicht, aber nicht eingebettet. Das Dualitätsargument funktioniert jedoch genauso (arbeiten Sie einfach direkt mit und ). Ich werde meine Antwort entsprechend bearbeiten.

H_{0}^{1}

$H^1_0$

H^{- 1}

$H^{-1}$

— Christian Clason

Danke für das umfangreiche Update. Und um ein weiteres glänzendes Zitat zu finden

— Bananach

@Praveen Ich glaube, du brauchst hier keine Theorie. Wählen einfach als Konstante Null.

v_{h}

$v_h$

— Bananach