Was ist mit dieser einfachen Fehlerschätzung für lineare PDE?

10

Sei eine konvexe polygonal begrenzte Lipschitz-Domäne in , sei . $\Omega$ $\mathbb R^2$ $f \in L^2(\Omega)$

Dann hat die Lösung des Dirichlet-Problems in , auf eine eindeutige Lösung in und ist gut gestellt, dh für ein konstantes wir haben . $\Delta u = f$ $\Omega$ $\operatorname{trace} u = 0$ $\partial\Omega$ $H^2$ $C$ $\|u\|_{H^2} \leq C \|f\|_{L^2}$

Für eine Finite-Elemente-Näherung $u_h$ , beispielsweise mit Knotenelementen auf einem einheitlichen Gitter, haben wir die Fehlerschätzung

$\| u - u_h \|_{H^1} \leq C h \| u \|_{H^2}$

Es scheint (vielleicht irre ich mich damit), dass die Leute normalerweise nicht die offensichtliche Fehlerschätzung verwenden

$\| u - u_h \|_{H^1} \leq C h \| f \|_{L^2}$

was wir durch Kombination der obigen zwei Ungleichungen erhalten können. Stattdessen werden a posteriori Fehlerschätzer in verschiedenen Formen entwickelt. Der einzige Einwand, den ich mir gegen die obige Gleichung vorstellen kann, ist, dass die Konstante $C$ in der Praxis möglicherweise zu pessimistisch oder nicht zuverlässig abschätzbar ist.

pde finite-element error-estimation

— Shuhalo
quelle

8

Der Grund, warum die Leute meiner Meinung nach die erste Schätzung bevorzugen, ist, dass die erste natürlich aus der Galerkin-Orthogonalität der FEM, der Interpolationsnäherungseigenschaft und vor allem der Koerzitivkraft der bilinearen Form (für das Randwertproblem der Poisson-Gleichung) resultiert entspricht es der Poincaré / Friedrichs-Ungleichung für Funktionen): $H^1_0$

\begin{aligned} ‖ u - u_{h} ‖_{H^{1} (Ω)}^{2} & \leq c_{1} ‖ \nabla (u - u_{h}) ‖_{L^{2} (Ω)}^{2} \\ ‖ \nabla (u - u_{h}) ‖_{L^{2} (Ω)}^{2} & = \int_{Ω} \nabla (u - u_{h}) \cdot \nabla (u - u_{h}) \\ = \int_{Ω} \nabla (u - u_{h}) \cdot \nabla (u - I u) \\ \leq ‖ \nabla (u - u_{h}) ‖_{L^{2} (Ω)} ‖ \nabla (u - I u) ‖_{L^{2} (Ω)} \\ \Rightarrow ‖ \nabla (u - u_{h}) ‖_{L^{2} (Ω)} & \leq ‖ \nabla (u - I u) ‖_{L^{2} (Ω)} \leq c_{2} h ‖ u ‖_{H^{2} (Ω)} \end{aligned}

$\begin{aligned} \|u - u_h\|^2_{H^1(\Omega)} &\leq c_1 \| \nabla (u - u_h) \|^2_{L^2(\Omega)} \\ \| \nabla (u - u_h) \|^2_{L^2(\Omega)} &= \int_{\Omega} \nabla(u- u_h)\cdot \nabla(u- u_h) \\ &= \int_{\Omega} \nabla(u- u_h)\cdot \nabla(u- \mathcal{I}u) \\ &\leq \| \nabla (u - u_h) \|_{L^2(\Omega)} \| \nabla (u - \mathcal{I}u) \|_{L^2(\Omega)} \\ \Rightarrow \| \nabla (u - u_h) \|_{L^2(\Omega)} &\leq \| \nabla (u - \mathcal{I}u) \|_{L^2(\Omega)} \leq c_2 h\| u\|_{H^2(\Omega)} \end{aligned}$ wobei von der Konstante in der Poincaré / Friedrichs-Ungleichung für Funktionen , ist die Interpolation von im Endlichen Elementraum und

c_{1}

$c_1$

H_{0}^{1}

$H^1_0$

I u

$\mathcal{I}u$

u

$u$

c_{2}

$c_2$ hängt von den minimalen Winkeln des Netzes ab.

Während die elliptische Regelmäßigkeitsschätzung ausschließlich auf der PDE-Ebene liegt, hat dies nichts damit zu tun Die Annäherung plus das obige Argument gilt auch dann, wenn eine Verteilung ist. $\|u \|_{H^2(\Omega)}\leq c\|f\|_{L^2(\Omega)}$ $f\in H^{-1}$

Kommen wir nun zu dem Grund, warum a posteriori Fehlerschätzungen weit verbreitet sind, hauptsächlich weil:

Es ist berechenbar, es gibt keine generische Konstante im Ausdruck der Schätzungen.
Der Schätzer hat seine lokale Form, die der lokale Fehlerindikator sein kann, der im adaptiven Netzverfeinerungsverfahren verwendet wird. Daher könnte das Problem mit Singularitäten oder wirklich "schlechten" Geometrien gelöst werden.

Beide von Ihnen aufgelisteten Schätzungen vom Typ a priori sind gültig. Sie liefern uns die Informationen über die Konvergenzordnungen. Keiner von ihnen kann jedoch ein lokaler Fehlerindikator nur für ein Dreieck / Tetraeder sein, da keiner von ihnen aufgrund der Konstante berechenbar ist , noch sind sie lokal definiert.

BEARBEITEN: Für einen allgemeineren Überblick über die FEM für elliptische PDEs empfehle ich dringend, Kapitel 0 in Brenners und Scotts Buch: Die mathematische Theorie der Finite-Elemente-Methoden zu lesen , das nur 20 Seiten umfasst und kurz fast alle Aspekte der Finite-Elemente-Methoden abdeckt Von der Galerkin-Formulierung aus der PDE bis zur Motivation, warum wir adaptive FEM verwenden möchten, um ein Problem anzugehen. Hoffe das würde dir mehr helfen.

— Shuhao Cao
quelle

1

Ihre Schätzung ist an zwei Fronten zu pessimistisch. Sie haben die erste bereits identifiziert ( jetzt nicht nur die Interpolationskonstante, sondern auch die Stabilitätskonstante). Die zweite ist, dass die Fehlerschätzung wirklich lautet Beachten Sie, dass auf der rechten Seite das Seminorm und nicht die Norm vorhanden ist. Natürlich können Sie die rhs an die volle Norm binden, aber auf diese Weise verlieren Sie wieder. $C$

‖ \nabla e ‖_{L_{2}} \leq C h | u |_{H^{2}} .

$\|\nabla e\|_{L_2} \le C \;h\; |u|_{H^2}.$

H^{2}

$H^2$

— Wolfgang Bangerth
quelle