Raum-Zeit-Finite-Elemente-Diskretisierung für zeitabhängige PDEs

In der FEM-Literatur werden bei der Lösung zeitabhängiger PDEs typischerweise semi-variierende Methoden verwendet. Ich habe keinen vollständig variierenden Ansatz gesehen, bei dem Raum und Zeit von der FEM diskretisiert werden, was möglicherweise die Verwendung unstrukturierter Raum-Zeit-Netze ermöglicht. Obwohl Zeitüberschreitungsmethoden möglicherweise einfacher zu implementieren sind, gibt es einen bestimmten Grund, warum Raum-Zeit-Vernetzung nicht realisierbar ist? Ich stelle mir vor, man muss Maschen maßschneidern, um die physikalischen Eigenschaften eines bestimmten Problems zu respektieren, aber ich bin mir nicht sicher.

Eine vollständige Raum-Zeit-Diskretisierung zeitabhängiger partieller Differentialgleichungen ist in der Tat eine Sache. Wenn Sie ein strukturiertes Netz in der Zeit (in dem Sinne, dass die zeitliche Diskretisierung nicht vom Raum abhängt) und eine geeignete Auswahl von Test- und Testfunktionen verwenden, können Sie mehrere Standard-Zeitschrittmethoden (Crank-Nicolson, implizites Euler oder einige Runge) anpassen -Kutta-Schemata) in ein Galerkin-Framework, das einen eleganten Ansatz für die Analyse bietet. Dies wird zum Beispiel in Thomées Buch Galerkin Finite-Elemente-Methoden für parabolische Probleme (Springer, 2. Aufl., 2006) oder in Chrysafinos und Walkingtons Papier Fehlerschätzungen für die diskontinuierlichen Galerkin-Methoden für parabolische Gleichungen (SIAM J. Numer. Anal 44.1, 349–366, 2006).

Die Verwendung eines vollständig unstrukturierten Netzes ist seltener, kann jedoch bei hyperbolischen Problemen sinnvoll sein, bei denen Informationen entlang von Merkmalen transportiert werden. Wenn Sie eine diskontinuierliche Galerkin-Formulierung verwenden, wird jedes Raum-Zeit-Element nur über Gesichtsbegriffe mit dem benachbarten Element gekoppelt (Sie haben keine globalen Kontinuitätsanforderungen), und Sie können die Lösung mithilfe eines Sweeping-Prozesses berechnen, indem Sie entlang der Merkmale von Element zu Element wechseln - eine Art "schräger" Zeitschritt. Dies ist natürlich viel schwieriger zu implementieren, selbst wenn nicht das gesamte Raum-Zeit-Netz gespeichert werden muss (was unerschwinglich sein kann). Auf der anderen Seite erhalten Sie den Vorteil unstrukturierter Netze, lokale (adaptive) Verfeinerung und damit lokal adaptive Zeitschritte zu ermöglichen.Raum-Zeit-Finite-Elemente-Methoden für die Elastodynamik: Formulierungen und Fehlerschätzungen , Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering 66 (3): 339-363, 1988 . Es gibt auch eine Doktorarbeit von Shripat Thite über Raumzeitvernetzung für diskontinuierliche Galerkin-Methoden .

Ein weiterer Kontext, in dem ich diese Idee gesehen habe, ist die PDE-beschränkte Optimierung für parabolische Probleme. Dort können Sie die notwendigen Optimalitätsbedingungen erster Ordnung als gekoppeltes System von Vorwärts-Rückwärts-Gleichungen formulieren, die Sie als gemischte Formulierung einer elliptischen Gleichung 2. Ordnung zeitlich, 4. Ordnung im Raum mit Anfang-Ende (und) interpretieren können Randbedingungen). Durch eine adaptive Raum-Zeit-Diskretisierung dieses gekoppelten Systems können Sie einen effizienten One-Shot-Ansatz für die Berechnung der Lösung erhalten, siehe Gong, Hinze, Zhou: Raum-Zeit-Finite-Elemente-Approximation parabolischer optimaler Steuerungsprobleme , J Numer. Mathematik. 20 (2): 111 & ndash; 145 (2012) .

Es gibt neuere Arbeiten zu Raum-Zeit-Methoden. Es gibt einen von Steinbach, Space-Time Finite Element und einen von Langer et. al, Raum-Zeit-Isogeometrie-Analyse, die sich alle mit Problemen der parabolischen Evolution befasst. In beiden Artikeln beschreiben sie anschaulich die Variationsformulierungen, jedoch in unterschiedlichen Einstellungen. Wie aus den Titeln hervorgeht, verwendet der erstere FEM und der letztere IgA. Ich denke, dies gibt gute Informationen, insbesondere darüber, was Sie suchen.

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Die Raum-Zeit-Implementierung des Tensorprodukts unterscheidet sich stark von nicht-tensorbasierten. Letzteres ist gerade für die FEM etwas knifflig.