Wo finde ich eine gute Referenz für die Stabilitätseigenschaften verschiedener Methoden zur Lösung parabolischer PDEs?

Im Moment habe ich einen Code, der den Crank-Nicholson-Algorithmus verwendet, aber ich denke, dass ich für Zeitüberschreitungen zu einem Algorithmus höherer Ordnung wechseln möchte. Ich weiß, dass der Crank-Nicholson-Algorithmus in der Domäne, in der ich arbeiten möchte, stabil ist, aber ich bin besorgt, dass einige andere Algorithmen dies möglicherweise nicht tun.

Ich weiß, wie man den Stabilitätsbereich eines Algorithmus berechnet, aber es kann eine Art Schmerz sein. Kennt jemand eine gute Referenz für die Stabilitätseigenschaften einer großen Anzahl von Zeitschrittalgorithmen für parabolische PDEs?

Mein persönlicher Favorit ist das Buch von John Strikwerda, "Finite Differenzschemata und partielle Differentialgleichungen" .

Er hat eine wirklich gute Behandlung der Stabilitätstheorie unter Verwendung der Fourier-Analyse. Ich habe nur die erste Ausgabe, in der er die Idee einer Stabilitätsregion nicht einführt. Laut der SIAM-Website hat die zweite Ausgabe dieses Material hinzugefügt.

Sehr kurze Antwort: Für eine umfassende Referenz können Sie Hairer und Wanner Band II nicht schlagen .

Kurze Antwort: Hier sind einige MATLAB-Skripte, um den Stabilitätsbereich einer linearen Mehrschritt- oder Runge-Kutta-Methode unter Berücksichtigung der Koeffizienten darzustellen. Sie können auch das Python-Paket nodepy verwenden (Haftungsausschluss: Es ist mein Paket und nicht die ausgefeilteste Software, aber das Zeichnen von Stabilitätsbereichen ist eine Sache, die es sehr gut macht). Anweisungen zum Zeichnen von Stabilitätsbereichen finden Sie hier .

Längere Antwort: Hier gibt es drei Klassen von Methoden, die Sie interessieren könnten.

• $A$ stabile Methoden , bei denen die gesamte linke Hälfte der komplexen Ebene im Stabilitätsbereich liegt. Die bekanntesten Beispiele sind Rückwärts-Euler (1. Ordnung) und die implizite Trapezmethode (die Crank-Nicholson verwendet). Für diese Methoden müssen Sie die Details des Stabilitätsbereichs nicht kennen. Solange die Eigenwerte Ihrer räumlichen Diskretisierung in der linken Halbebene liegen, haben Sie bedingungslose Stabilität (keine Einschränkung der Schrittgröße). Aufgrund der zweiten Dahlquist-Barriere müssen Sie Runge-Kutta-Methoden verwenden, wenn Sie hohe Ordnung und wünschen$A$-Stabilität. Einige Beispiele für solche Methoden sind die Gauß-Legendre-, Radau- und Lobatto-Methoden. All dies ist völlig implizit und daher ziemlich teuer.

• $A(\alpha)$ -stabile Methode , die einen Sektor in der linken Halbebene enthält , einschließlich der gesamten negativen reellen Achse. Die bekanntesten davon sind die BDF-Methoden ( Backward Differentiation ) und eine als "numerische Differenzierungsformeln" bekannte Variante, die in MATLABs implementiert sind ode15s(). Diese sind bedingungslos stabil, solange die Eigenwerte Ihrer räumlichen Diskretisierung in diesem Sektor liegen. Das einzige, was Sie über den Stabilitätsbereich wissen müssen, ist der Winkel , den Sie in jeder Referenz zu ODE-Lösern finden können (z. B. S. 175 von LeVeque ).$\alpha$

• Explizite Methoden , die nur ein endliches Intervall auf der negativen realen Achse umfassen müssen. Es gibt spezielle "stabilisierte" explizite Methoden (insbesondere die Runge-Kutta-Chebyshev-Methoden ), die große negative Stabilitätsbereiche der realen Achse aufweisen und für leicht steife Probleme geeignet sind, normalerweise jedoch nicht für parabolische Probleme. Ein guter Zugang zu dieser Literatur ist dieses Papier , das viele Informationen über die Stabilitätsbereiche enthält.

Ich bin davon ausgegangen, dass Sie nur an absoluter Stabilität interessiert sind. Bei parabolischen Problemen möchten Sie wahrscheinlich auch eine stabile Methode, aber es ist einfach, die Stabilität einer Methode zu überprüfen .$L$$L$

Update : Wenn Sie wirklich alles über dieses Thema wissen müssen, besorgen Sie sich eine Kopie der Monographie von Dekker und Verwer . Es bietet eine der besten existierenden Einführungen in Konzepte wie einseitige Lipschitz-Konstanten, die logarithmische Norm und mehrere tiefere Stabilitätskonzepte. Es ist vergriffen, aber normalerweise finden Sie gebrauchte Exemplare bei Amazon (zu einem Preis!)