Warum ist es schwierig, die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung für mehrere Elektronen numerisch zu lösen?

Es scheint, dass Menschen normalerweise die SAE-Näherung (Single Active Electron) verwenden, um sich mit einem Mehrelektronensystem zu befassen und das Problem in ein Einzelelektronenproblem umzuwandeln. Zum Beispiel schließen Menschen bei der numerischen Lösung des Problems einer Heliumatom-Wechselwirkung mit Laserfeldern normalerweise den Elektronen-Elektronen-Effekt durch ein Pseudopotential ein und lösen im Wesentlichen das Ein-Elektronen-Problem. Warum ist es also schwierig, die zeitabhängige Mehrelektronen-Schrödinger-Gleichung überhaupt numerisch zu lösen? Ist es viel schwieriger als das klassische N-Körper-Problem? Ich habe gesehen, dass es in der Astronomie sogar in Echtzeit ein riesiges klassisches Körper-Problem gibt, das numerisch gelöst wurde. Hier wird beispielsweise in Echtzeit eine Kollision zweier Galaxien simuliert, an der 280000 Teilchen interagieren. $n$

pde quantum-mechanics

— xslittlegrass
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Neben der Schwierigkeit gibt es auch einen Nutzen, der Innovationen vorantreibt. Astrophysikalische Körper-Probleme brauchen eine zeitliche Entwicklung. Auf der anderen Seite kann man mit einem Mehrelektronenatom, das wenig bis gar keine Zeitabhängigkeit hat, viel anfangen, wie zum Beispiel das Finden von Energieniveaus. Mit anderen Worten, es gibt mehr Anwendungen mit stationären Zuständen für Atome als für kollidierende Galaxien.

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$n$

Vielleicht, aber ich denke, das ist nicht der Punkt. Selbst stationäre Quantenberechnungen sind erheblich teurer. Aber selbst dann sind zeitabhängige Quantenberechnungen von hoher Relevanz - sie sind in fast allen praktischen Fällen einfach zu teuer, und dies erklärt, warum dies in der Vergangenheit nicht durchgeführt wurde.

— Wolfgang Bangerth

Ja, das ist viel schwieriger. Für das Körper-Problem müssen Sie nur die Trajektorien berechnen die nur Funktionen einer einzelnen Variablen sind. $N$ $\mathbf x_i(t), i=1\ldots N$ $N$

Andererseits ist selbst für ein einzelnes Elektron die Lösung der Schrödinger-Gleichung eine Funktion , dh eine Funktion von vier Variablen. Für zwei Elektronen suchen Sie nach einer Funktion , die die Wellenfunktion als Funktion der Positionen der beiden Elektronen plus Zeit beschreibt. Das sind sieben Variablen. $\Psi(x,y,z,t)$ $\Psi(x_1,y_1,z_1,x_2,y_2,z_3,t)$

Wenn Sie sich daran erinnern, wie man gewöhnliche Differentialgleichungen wie Newtons Gleichungen für das Körper-Problem löst , müssen Sie jede Gleichung um einen Zeitschritt von Zeit nach vorwärts bewegen und dort die Lösung berechnen. Wenn Sie also Ihr Zeitintervall in Intervalle der Länge teilen beträgt der Aufwand für jeden Zeitschritt Verwendung einer naiven Implementierung der Wechselwirkungen der Körper (Sie) kann Methoden verwenden, um Aufwand zu erreichen, aber das ist nicht der Punkt). $N$ $t$ $t+\Delta t$ $[0,T]$ $M$ $\Delta t=T/M$ $N^2M$ $N$ $N (\log N) M$

Um andererseits eine Funktion von 7 Variablen zu finden, nehmen Sie an, dass Sie das Zeitintervall wie oben in Teilintervalle unterteilen , aber dasselbe auch für die 6 Raumkoordinaten tun. Dann sind insgesamt Gitterpunkte zu berücksichtigen. Und im Allgemeinen haben Sie für ein Körper-Quantensystem . $M$ $M^7$ $N$ $M^{3N+1}$

Es ist jetzt leicht zu überprüfen, dass selbst für relativ kleine Zahlen der Aufwand erheblich größer ist als , was erklärt, warum Mehrkörper-Quantenberechnungen so extrem viel teurer sind als Körper klassische Mechanik. $N,M$ $M^{3N+1}$ $N^2M$ $N$

— Wolfgang Bangerth
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N^{2} M

$N^2 M$

M^{3 N + 1}

$M^{3N+1}$

Ja, in der Tat. Aber im Großen und Ganzen kann man die kombinatorische Komplexität nicht loswerden.

— Wolfgang Bangerth