Was sagt uns die Stabilitätsanalyse von Von Neumann über nichtlineare Finite-Differenzen-Gleichungen?

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Ich lese eine Arbeit [1], in der sie die folgende nichtlineare Gleichung Verwendung von Finite-Differenzen-Methoden lösen . Sie analysieren auch die Stabilität der Schemata mithilfe der Von Neumann-Stabilitätsanalyse. Wie die Autoren erkennen, gilt dies jedoch nur für lineare PDEs. Die Autoren umgehen dies, indem sie den nichtlinearen Term "einfrieren", dh sie ersetzen den -Term durch , wobei als "lokal konstante Werte von" angesehen wird

u_{t} + u_{x} + u u_{x} - u_{x x t} = 0

$\begin{equation} u_t + u_x + uu_x - u_{xxt} = 0 \end{equation}$

u u_{x}

$uu_x$

U u_{x}

$Uu_x$

U

$U$

. "

u

$u$

Meine Frage ist also zweifach:

1: Wie interpretiert man diese Methode und warum funktioniert sie (nicht)?

2: Könnten wir auch den -Term durch den -Term ersetzen , wobei "lokal konstante Werte von "? $uu_x$ $uU_x$ $U_x$ $u_x$

Verweise

Eilbeck, JC und GR McGuire. "Numerische Untersuchung der regulierten langwelligen Gleichung I: numerische Methoden." Journal of Computational Physics 19.1 (1975): 43-57.

— Jäger
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1

Sie haben die Gleichung falsch eingegeben. Die Gleichung in der Arbeit ist RLW-Gleichung.

— Ömer

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Verwandte Fragen ohne vollständige Antworten: scicomp.stackexchange.com/q/8717/713 , mathoverflow.net/q/186760 , scicomp.stackexchange.com/q/16142 , scicomp.stackexchange.com/q/6863 . Ich denke, heuristisch gesehen sollte es funktionieren, weil Sie an der Stabilität sehr hochfrequenter Moden interessiert sind (bei denen die Fehler auftreten, Wellenlänge in der Größenordnung des Maschenabstands), während die Lösung selbst stattdessen mit viel geringerer Frequenz variieren würde. Es ist also in Ordnung, Koeffizienten einzufrieren und die Stabilität der PDE mit gefrorenen Koeffizienten zu untersuchen.

— Kirill

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Ich gab Antworten auf einige der von Kirill verknüpften Fragen. Leider sind mir keine Ergebnisse für die RLW-Gleichung bekannt, aber wahrscheinlich kann die Stabilität nachgewiesen werden, solange die Lösung glatt genug ist.

— David Ketcheson

1

Was Sie sagen, wird als Linearisierung bezeichnet. Es ist eine übliche Technik, die bei der Analyse nichtlinearer PDEs verwendet wird. Was getan wird, ist, Gleichungen im Format zu gießen,

$u_t+Au=0$

Hier ist A eine Matrix, die sich aus der Linearisierung der Gleichung ergibt.

Nun zu Ihren Fragen,

Wie Sie denken, funktioniert es bis zu einem gewissen Grad, aber nicht bis zu einem anderen Grad. Der Nutzen besteht darin, dass die Stabilität für lineare Systeme nachgewiesen werden kann, für nichtlineare Systeme jedoch nicht ohne weiteres. Die linearen Ergebnisse werden also auf die nichtlinearen Systeme ausgedehnt. In bestimmten Fällen werden häufig unterschiedliche Methoden angewendet. Beispielsweise,

$uu_x = \frac{1}{2}(u^2)_x$

Welches ist die Erhaltungsform. So,

$u_t+\frac{1}{2}(u^2)_x = 0$

wenn es in einem endlichen Volumensinn dargestellt wird, gibt es Grenzen für die Entwicklung von u.

Was ist der Nutzen des Austauschs? Sie entfernen die Gleichung aus einer Wellengleichungsform. Was bedeuten würde, dass sich die Lösungen nicht wie eine Wellengleichung verhalten würden. Bei der Stabilitätsanalyse müssten die Testlösungen also völlig anders und auch nicht physikalisch sein.

— Vikram
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Um auf das Linearisierungsargument einzugehen, möchten Sie in uu_x aus zwei Gründen annehmen, dass u lokal konstant ist, nicht u_x: a) u variiert langsamer als seine Ableitung, und b) in diesem speziellen Fall, wenn Sie annehmen, dass u_x lokal konstant ist Per Definition nehmen Sie auch an, dass u lokal linear ist, was bedeutet, dass höhere Raumableitungen Null sind. Dies führt nicht nur zu einem zusätzlichen Approximationsfehler, sondern kann auch bedeuten, dass Sie das Baby abhängig von Ihrer Gleichung mit dem Badewasser herauswerfen.

— Domingo Tavella
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