Als «pde» getaggte Fragen

Partielle Differentialgleichungen (PDEs) sind Gleichungen, die die partiellen Ableitungen einer Funktion von mehr als einer Variablen in Beziehung setzen. Dieses Tag ist für Fragen zur Modellierung von Phänomenen mit PDEs, zur Lösung von PDEs und anderen verwandten Aspekten gedacht.

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Was sind die relativen Vorteile der Verwendung von Adams-Moulton gegenüber dem Adams-Bashforth-Algorithmus?
Ich löse ein System von zwei gekoppelten PDEs in zwei räumlichen Dimensionen und in der Zeit rechnerisch. Da die Funktionsauswertungen teuer sind, würde ich gerne eine mehrstufige Methode verwenden (initialisiert mit Runge-Kutta 4-5). Die Adams-Bashforth-Methode unter Verwendung von fünf vorherigen Funktionsbewertungen hat einen globalen Fehler von (dies ist der Fall, …
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Beispiele für PDE-Berechnungen, bei denen sowohl räumlich als auch zeitlich Parallelität verwendet wird
In der numerischen Lösung von anfänglichen Randwert-PDEs ist es sehr verbreitet, Parallelität im Raum zu verwenden . Es ist weitaus seltener, eine Form von Parallelität in der Zeitdiskretisierung anzuwenden , und diese Parallelität ist normalerweise viel begrenzter. Mir ist eine zunehmende Anzahl von Codes und veröffentlichten Arbeiten bekannt, die zeitliche …
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Randbedingungen für die Advektionsgleichung, diskretisiert durch eine Finite-Differenzen-Methode
Ich versuche einige Ressourcen zu finden, um zu erklären, wie man Randbedingungen wählt, wenn man Finite-Differenzen-Methoden zur Lösung von PDEs einsetzt. Die Bücher und Notizen, auf die ich momentan Zugriff habe, sagen ähnliche Dinge aus: Die allgemeinen Regeln für die Stabilität bei Vorhandensein von Grenzen sind für einen Einführungstext viel …
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Veranschaulichende Beispiele für mimetische Finite-Differenzen-Methoden
So sehr ich im Internet versuche, eine präzise Erklärung zu finden, kann ich das Konzept eines mimetischen endlichen Unterschieds oder dessen Zusammenhang mit standardmäßigen endlichen Unterschieden anscheinend nicht verstehen. Es wäre sehr hilfreich, einige einfache Beispiele zu sehen, wie sie für klassische lineare PDEs (hyperbolisch, elliptisch und parabolisch) implementiert werden.
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Wie man Randbedingungen in Finite-Differenzen-Methoden auferlegt
Ich habe ein Problem, wenn ich die Näherung für die Mittendifferenz höherer Ordnung verwenden möchte: (−ui+2,j+16ui+1,j−30ui,j+16ui−1,j−ui−2,j12)(−ui+2,j+16ui+1,j−30ui,j+16ui−1,j−ui−2,j12)\left(\frac{-u_{i+2,j}+16u_{i+1,j}-30u_{i,j}+16u_{i-1,j}-u_{i-2,j}}{12}\right) für die Poisson-Gleichung (uxx+uyy=0)(uxx+uyy=0)(u_{xx}+u_{yy}=0) in einer quadratischen Domäne, in der die Randbedingungen sind: Δ x = Δ Y = 0,1u(0,y)=u(x,0)=u(x,1)=0,u(1,y)=sinπyu(0,y)=u(x,0)=u(x,1)=0,u(1,y)=sin⁡πyu(0,y)=u(x,0)=u(x,1)=0,u(1,y)=\sin \pi y Δx=Δy=0.1Δx=Δy=0.1\Delta{x}=\Delta{y}=0.1 Wenn ich den Wert von inneren Punkten der Domäne erhalten möchte, …
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PDEs in vielen Dimensionen
Ich weiß, dass die meisten Methoden, um ungefähre Lösungen für PDEs zu finden, schlecht mit der Anzahl der Dimensionen skalieren und dass Monte Carlo für Situationen verwendet wird, in denen ~ 100 Dimensionen erforderlich sind. Was sind gute Methoden, um PDEs in ~ 4-10 Dimensionen effizient numerisch zu lösen? 10-100? …
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Gibt es einen Multigrid-Algorithmus, der Neumann-Probleme löst und dessen Konvergenzrate von der Anzahl der Ebenen unabhängig ist?
Multigrid-Methoden lösen in der Regel Dirichlet-Probleme auf Ebenen (zB Punkt Jacobi oder Gauß-Seidel). Bei der Verwendung kontinuierlicher Finite-Elemente-Methoden ist die Montage kleiner Neumann-Probleme wesentlich kostengünstiger als die Montage kleiner Dirichlet-Probleme. Nicht überlappende Domänenzerlegungsmethoden wie BDDC (wie FETI-DP) können als Multigrid-Methoden interpretiert werden, die "festgeklemmte" Neumann-Probleme auf Ebenen lösen. Leider skaliert …
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Überprüfung bei Eigenwertproblemen
Beginnen wir mit einem Problem der Form ( L + k2) u = 0(L+k2)u=0(\mathcal{L} + k^2) u=0 mit einer Reihe gegebener Randbedingungen ( Dirichlet , Neumann , Robin , Periodic , Bloch-Periodic ). Dies entspricht dem Finden der Eigenwerte und Eigenvektoren für einen Operator LL\mathcal{L} unter bestimmten Geometrie- und Randbedingungen. …
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Kann ein angenäherter Jacobi mit endlichen Differenzen Instabilität in der Newton-Methode verursachen?
Ich habe einen Rückwärts-Euler-Löser in Python 3 implementiert (mit Numpy). Zu meiner eigenen Bequemlichkeit und als Übung habe ich auch eine kleine Funktion geschrieben, die eine endliche Differenzapproximation des Gradienten berechnet, so dass ich den Jacobian nicht immer analytisch bestimmen muss (wenn es überhaupt möglich ist!). Unter Verwendung der in …
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Alternativen zur von-Neumann-Stabilitätsanalyse für Finite-Differenzen-Methoden
Ich arbeite an der Lösung der gekoppelten eindimensionalen Poroelastizitätsgleichungen (Biot-Modell), gegeben als: −(λ+2μ)∂2u∂x2+∂p∂x=0−(λ+2μ)∂2u∂x2+∂p∂x=0-(\lambda+ 2\mu) \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial p}{\partial x} = 0 ∂∂t[γp+∂u∂x]−κη[∂2p∂x2]=q(x,t)∂∂t[γp+∂u∂x]−κη[∂2p∂x2]=q(x,t)\frac{\partial}{\partial t} \left[ \gamma p + \frac{\partial u}{\partial x}\right] -\frac{\kappa}{\eta}\left[\frac{\partial^2 p}{\partial x^2}\right] =q(x,t) in der Domäne und mit den Randbedingungen: Ω=(0,1)Ω=(0,1)\Omega=(0,1) p=0,(λ+2μ)∂u∂x=−u0p=0,(λ+2μ)∂u∂x=−u0p=0, (\lambda + 2\mu)\frac{\partial u}{\partial x}=-u_0 …
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Wie konstruiere ich ein ausgewogenes endliches Volumen und diskontinuierliche Galerkin-Methoden für hyperbolische PDEs mit Quelltermen?
Quellbegriffe, wie sie beispielsweise auf die Bathymetrie in den Flachwassergleichungen zurückzuführen sind, müssen in besonderer Weise integriert werden, um physikalische Gleichgewichtszustände zu erhalten. Gibt es eine allgemeine Möglichkeit, ausgewogene Methoden zu konstruieren, oder sind für jede Gleichung spezielle Techniken erforderlich?
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