Gibt es einen Multigrid-Algorithmus, der Neumann-Probleme löst und dessen Konvergenzrate von der Anzahl der Ebenen unabhängig ist?

Multigrid-Methoden lösen in der Regel Dirichlet-Probleme auf Ebenen (zB Punkt Jacobi oder Gauß-Seidel). Bei der Verwendung kontinuierlicher Finite-Elemente-Methoden ist die Montage kleiner Neumann-Probleme wesentlich kostengünstiger als die Montage kleiner Dirichlet-Probleme. Nicht überlappende Domänenzerlegungsmethoden wie BDDC (wie FETI-DP) können als Multigrid-Methoden interpretiert werden, die "festgeklemmte" Neumann-Probleme auf Ebenen lösen. Leider skaliert die Bedingungsnummer für mehrstufige BDDCs als

C {(1 + Log (\frac{H}{h}))}^{2 L}

$C \left(1 + \log \left(\frac{H}{h}\right)\right)^{2L}$

Dabei ist die Anzahl der Stufen und das Vergröberungsverhältnis. Im Gegensatz dazu hat die Bedingungsnummer für Mehrgittermethoden mit Glättungselementen, die auf Dirichlet-Problemen basieren, eine Bedingungsnummer, die von der Anzahl der Ebenen unabhängig ist. $L$ $H/h$

Gibt es eine Möglichkeit, "festgesteckte" Neumann-Probleme zu lösen, ohne die Level-Unabhängigkeit zu verlieren?

pde multigrid

— Jed Brown
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Hinweis: Dies ist eine offene Forschungsfrage, die hier als Herausforderung veröffentlicht wird, da es sich um ein praktisches Problem handelt, das von vielen in diesem Bereich tätigen Analysten übersehen zu werden scheint.

— Jed Brown

Es ist schwer zu sagen, was genau das Äquivalent zum "Pinned Neumann" -Blockglatter in einem Multigrid-Kontext ist, zumindest wenn Sie erwarten, dass er dieselbe Rolle übernimmt wie im DD-Kontext. Könnten Sie etwas näher erläutern, was dies bedeuten würde?

— Peter Brune

Ich bin mir nicht sicher, wie unterschiedlich das von BDDC ist, und es ist nicht sehr gründlich analysiert worden, aber das schien interessant, als ich es vorher gelesen habe:

Ein paralleler Multigrid-Poisson-Löser für die Flüssigkeitssimulation in großen Gittern

— celion
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Diese Arbeit verwendet Finite-Differenzen-Methoden, für die es selbstverständlich ist, lokale Dirichlet-Probleme zu konstruieren. Sie verwenden einen gedämpften Jacobi-Glätter (Einpunkt-Dirichlet-Probleme). Es ist speicherarm (für diese Methodenklasse üblich) und verwendet eine gestaffelte Gitterinterpolation (nicht typisch). Es mag ein gutes Blatt sein (ich habe es nicht sorgfältig gelesen), aber es ist für diese Frage unerheblich.

— Jed Brown