Veranschaulichende Beispiele für mimetische Finite-Differenzen-Methoden

So sehr ich im Internet versuche, eine präzise Erklärung zu finden, kann ich das Konzept eines mimetischen endlichen Unterschieds oder dessen Zusammenhang mit standardmäßigen endlichen Unterschieden anscheinend nicht verstehen. Es wäre sehr hilfreich, einige einfache Beispiele zu sehen, wie sie für klassische lineare PDEs (hyperbolisch, elliptisch und parabolisch) implementiert werden.

Ich bin mir nicht sicher, ob es die von Ihnen gewünschte Antwort ist, aber da niemand anders geantwortet hat, kann ich die GPL- MATLAB-Reservoir-Toolbox erwähnen , die mimetische Löser für Druckgleichungen in der Reservoirsimulation verwendet. Da diese Gleichung reduziert sich auf die typische elliptische Testgleichung, Δp=0(Poisson) für ein konstantes Verhältnis von Permeabilität zu Viskosität. MRST unterstützt vollständig unstrukturierte Gitter mit verschiedenen Mimetikmethoden, wobei sich Mimetik hier auf eine Nachahmung des inneren Produkts bezieht, das für die Erstellung von Massenbilanzgleichungen erforderlich ist. Sie werden wahrscheinlich kein Verständnis für Reservoirsimulationen benötigen, um dies zu verstehen.

Ein gutes Beispiel dafür finden Sie hier . In den Beispielen wird die Block-Skript-Funktionalität von MATLAB verwendet, mit der Sie mit der Umschalttaste die einzelnen Schritte durchlaufen und die Daten bei jedem Schritt überprüfen können.

Relevante Artikel finden Sie hier . Im ersten Artikel wird die Formulierung des mimetischen inneren Produkts beschrieben, damit Sie den Code nachlesen können. Wenn Sie kein MATLAB haben oder mit der Sprache nicht vertraut sind, ist dies wahrscheinlich nicht sehr hilfreich - aber ich denke, die einfachen Beispiele sollten auch mit Octave kompatibel sein.

Es gibt eine Masterarbeit zum Thema "Vergleich zwischen mimetischen und Zweipunkt-Flux-Approximationsschemata auf PEBI-Gittern", in der einige Details erläutert werden. Insbesondere in Abschnitt 7.3 wird ein kleines Beispiel von Hand behandelt.

Die Unterstützungsoperatormethode (SOM) nutzt die Tatsache, dass die meisten partiellen Differentialgleichungen in Bezug auf die Differentialoperatordivergenz formuliert werden $\nabla\cdot$Steigung $\nabla$und locken $\nabla\times$. Das SOM bietet einen Ansatz zur räumlichen Differenzierung durch Konstruktion diskreter Analoga der zuvor genannten Differentialoperatoren. Die diskreten Operatoren erfüllen diskrete Versionen wichtiger Differential- und Integralidentitäten, die von den Kontinuumsoperatoren erfüllt werden. Im Wesentlichen konstruiert der SOM eine diskrete Version des Differentialoperator-Kalküls.

Die Konstruktion eines diskreten Kalküls erfolgt in zwei Schritten. Zuerst wählen wir eine diskrete Form für einen der Grundoperatoren, den sogenannten Hauptoperator . Basierend auf einer Untergruppe von Differential- und Integralidentitäten, die wir beibehalten möchten, konstruieren wir dann die anderen grundlegenden Operatoren, die als abgeleitete Operatoren bezeichnet werden. Die Wahl des Hauptbetreibers hängt von der Anwendung und der Diskretisierung ab. In gewisser Weise "unterstützt" der Hauptoperator die Konstruktion der abgeleiteten Operatoren. Erhaltungssätze, Lösungssymmetrien und angrenzende Beziehungen zwischen Differentialoperatoren sind Beispiele für Eigenschaften, die die diskreten Operatoren nachahmen sollen.

Beispielsweise würde eine SOM-Diskretisierung der linearen Diffusionsgleichung die mimetische Diskretisierung nachahmen

1. Das Gauß-Grün-Theorem zur Durchsetzung des örtlichen Naturschutzgesetzes
2. Die negative Nebenbeziehung zwischen den Fluss- und Divergenzoperatoren, $-\textbf{K}\nabla = (\nabla\,\cdot)^{*}$
3. Garantierte Symmetrie und Positivität des Produkts aus diskreter Divergenz und diskretem Fluss
4. Der Nullraum des diskreten Flussoperators ist die konstante Funktion.

Alle Details zur mimetischen Diskretisierung der Diffusionsgleichung sind in 1D oder 2D verfügbar .

Siehe die These von Jerome Bonelle, die auf seiner Website oder direkt hier verfügbar ist . Ich fand seine Kapitel 2 - 4 recht einfach zu lesen und gab eine nette Einführung. Er spricht auch über zwei Beispiele, eine elliptische PDE und die Stokes-Gleichungen.