Überprüfung bei Eigenwertproblemen

Beginnen wir mit einem Problem der Form

(L + k^{2}) u = 0

$(\mathcal{L} + k^2) u=0$

mit einer Reihe gegebener Randbedingungen ( Dirichlet , Neumann , Robin , Periodic , Bloch-Periodic ). Dies entspricht dem Finden der Eigenwerte und Eigenvektoren für einen Operator $\mathcal{L}$ unter bestimmten Geometrie- und Randbedingungen. Ein solches Problem kann man beispielsweise in der Akustik, dem Elektromagnetismus, der Elastodynamik und der Quantenmechanik lösen.

Ich weiß, dass man den Operator mit verschiedenen Methoden diskretisieren kann, um zB Finite-Differenzen-Methoden zu erhalten

[EIN] {U} = k^{2} {U}

$[A]\{U\} = k^2 \{U\}$

oder unter Verwendung von Finite-Elemente-Methoden zu erhalten

[K] {U} = k^{2} [M] {U} .

$[K]\{U\} = k^2 [M]\{U\} \enspace .$

In einem Fall bekommen Sie ein Eigenwertproblem und ein verallgemeinertes Eigenwertproblem in dem anderen. Nach Erhalt der diskreten Version des Problems verwendet man einen Löser für das Eigenwertproblem.

Einige Gedanken

Das Verfahren der hergestellten Lösungen ist in diesem Fall nicht nützlich, da es keinen Quellenbegriff gibt, um die Gleichung auszugleichen.
Man kann überprüfen, ob die Matrizen und gut erfasst sind, indem man ein Frequenzbereichsproblem mit dem Quellterm verwendet, z $[K]$ $[M]$

$[\nabla^{2} + ω^{2} / c^{2}] u (ω) = f (ω), \forall ω \in [ω_{Mindest}, ω_{max}]$ $[\nabla^2 + \omega^2/c^2] u(\omega) = f(\omega) \enspace ,\quad \forall \omega \in [\omega_\min, \omega_\max]$
Anstatt von

$[\nabla^{2} + k^{2}] u = 0 .$ $[\nabla^2 + k^2] u = 0 \enspace .$
Damit werden die Probleme mit dem Löser jedoch nicht überprüft.
Vielleicht kann man Lösungen für verschiedene Methoden wie FEM und FDM vergleichen.

Frage

Wie lassen sich die Lösungen (Eigenwert-Eigenvektor-Paare) für Diskretisierungsschemata mit numerischen Methoden wie FEM und FDM für Eigenwertprobleme verifizieren?

— nicoguaro
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Können Sie Ihre Ergebnisse mit den Spektren für bekannte Fälle (Quadrat, Würfel, Kreis, Kugel) vergleichen? Es gibt auch erwartete Konvergenzraten für Eigenvektoren und Eigenwerte in geeigneten Normen, die Sie überprüfen können (obwohl diese Raten in der Regel je nach Häufigkeit variieren - siehe journals.cambridge.org/action/… )

— Jesse Chan

Ja, Sie können mit analytischen Lösungen vergleichen. Aber normalerweise sind sie für wirklich einfache Fälle vorgesehen. Die Frage ist, wie der Überprüfungsprozess durchgeführt wird. Wenn es etwas ähnliches gibt wie die Methode oh hergestellte Lösungen. Oder wenn Sie diese Methode für andere Probleme mit analytischen Lösungen kombinieren sollten.

— nicoguaro

Wenn Sie in einer Dimension mit dem gewünschten

und

, könnten Sie versuchen,

zu zerlegen , falls solche

existieren, und dann laufe mit

. Dies kann mess up

‚s Symmetrien und andere Eigenschaften, nehme ich an . Hier

und

k, v

$k,v$

(L + k^{2}) v = w \neq 0

$(\mathcal{L}+k^2)v = w \neq0$

w = f v + g v^{'}

$w = fv+gv'$

f, g

$f,g$

L^{'} = L - f - g \partial

$\mathcal{L}'=\mathcal{L}-f-g\partial$

L

$\mathcal{L}$

v

$v$

v^{'}

$v'$ sollte linear unabhängig sein und kann nicht am gleichen Punkt verschwinden.

— Kirill

@ JesseChan, danke für die vorgeschlagene Lektüre. Es hat einige Zeit gedauert, aber ich habe es gelesen. Ich glaube nicht, dass sie genug Informationen für den gewünschten Zweck liefern.

— nicoguaro

Ich möchte sicher sein, dass ich Sie richtig verstanden habe. Möchten Sie wissen, wie der Abstand zwischen berechneten Eigenpaaren für den diskreten Operator (Matrix oder Matrizen) und dem entsprechenden Eigenpaar für den glatten Operator geschätzt wird? Oder wollen Sie jetzt abschätzen, mit welcher Genauigkeit Sie ein diskretes Eigenwertproblem gelöst haben?

— Carl Christian

Mir ist klar, dass diese Frage alt ist, aber ich habe sie gerade gesehen und finde sie interessant. In der Vergangenheit bin ich den Vorschlägen aus den Kommentaren dieser Frage gefolgt, zusammen mit einigen etwas komplizierteren Fällen, mit denen ich in der Literatur vertraut bin (Orr - Sommerfeld ist immer griffbereit).

Mir ist jedoch auch etwas Literatur über die inhomogenen Eigenwertprobleme bekannt, die bei der Konstruktion einer hergestellten Lösung auftreten. Es gibt einige Diskussionen über solche Probleme: DOI: 10.1016 . Diese Autoren schlagen auch ein sogenanntes Verfahren zur Herstellung von Querschnitten (MXS, glaube ich) vor, um dieses Problem insgesamt zu vermeiden, das ich im Moment nicht zu verstehen vorgebe, das aber sehr nützlich sein könnte.

— Spencer Bryngelson
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Was sie als "inhomogenes Eigenwertproblem" vorschlagen, ist der Ansatz, den ich in meinem ursprünglichen Beitrag vorgeschlagen habe. Ich versuche jedoch immer noch, die Methode der Herstellung von Querschnitten zu verstehen.

— Nicoguaro

Mir ist klar, dass es für solche Probleme nur Literatur gibt, die darauf hindeutet, dass dies keine Sackgasse ist, wie Sie vorgeschlagen haben.

— Spencer Bryngelson

Es ist keine Kritik an Ihrem Beitrag. Ganz im Gegenteil! Ich kommentiere nur, was ich gefunden habe, nachdem ich den Verweis gelesen habe, um die Diskussion zu fördern.

— Nicoguaro

Für die Ableitung zweiter Ordnung (und den Laplace-Operator für einfache Domänen) stehen Ausdrücke für die diskreten Eigenpaare (dh nach der Diskretisierung) zur Verfügung. Zum Beispiel für Finite-Differenzen sind die Eigenpaar aufgeführt hier .

Der Ausdruck für die Eigenpaare mit einer Finite-Elemente-Diskretisierung ist ähnlich zu finden (für P1- und P2-Diskretisierung).

— user7440
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