Alternativen zur von-Neumann-Stabilitätsanalyse für Finite-Differenzen-Methoden

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Ich arbeite an der Lösung der gekoppelten eindimensionalen Poroelastizitätsgleichungen (Biot-Modell), gegeben als:

- (λ + 2 μ) \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} + \frac{\partial p}{\partial x} = 0

$-(\lambda+ 2\mu) \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial p}{\partial x} = 0$

\frac{\partial}{\partial t} [γ p + \frac{\partial u}{\partial x}] - \frac{κ}{η} [\frac{\partial^{2} p}{\partial x^{2}}] = q (x, t)

$\frac{\partial}{\partial t} \left[ \gamma p + \frac{\partial u}{\partial x}\right] -\frac{\kappa}{\eta}\left[\frac{\partial^2 p}{\partial x^2}\right] =q(x,t)$ in der Domäne und mit den Randbedingungen:

Ω = (0, 1)

$\Omega=(0,1)$

$p=0, (\lambda + 2\mu)\frac{\partial u}{\partial x}=-u_0$ bei und bei . $x=0$ $u=0, \frac{\partial p}{\partial x} = 0$ $x=1$

Ich habe diese Gleichungen mit einem zentrierten Finite-Differenzen-Schema diskretisiert:

(λ + 2 μ) \frac{u_{i + 1}^{t + 1} - 2 u_{i}^{t + 1} + u_{i - 1}^{t + 1}}{Δ x^{2}} + \frac{p_{i + 1}^{t + 1} - p_{i - 1}^{t + 1}}{2 Δ x} = 0

$(\lambda + 2\mu)\frac{u^{t+1}_{i+1}-2u^{t+1}_i+u^{t+1}_{i-1}}{\Delta x^2} + \frac{p^{t+1}_{i+1}-p^{t+1}_{i-1}}{2\Delta x} = 0$

γ \frac{p_{i}^{t + 1} - p_{i}^{t}}{Δ t} + \frac{u_{i + 1}^{t + 1} - u_{i - 1}^{t + 1}}{2 Δ x Δ t} - [\frac{u_{i + 1}^{t} - u_{i - 1}^{t}}{2 Δ x Δ t}] - \frac{κ}{η} [\frac{p_{i + 1}^{t + 1} - 2 p_{i}^{t + 1} + p_{i - 1}^{t + 1}}{Δ x^{2}}] = q_{i}^{t + 1}

$\gamma \frac{p^{t+1}_i-p^t_i}{\Delta t} + \frac{u^{t+1}_{i+1}-u^{t+1}_{i-1}}{2\Delta x \Delta t} -\left[ \frac{u^t_{i+1}-u^t_{i-1}}{2\Delta x \Delta t}\right] - \frac{\kappa}{\eta}\left[ \frac{p^{t+1}_{i+1} -2p^{t+1}_i + p^{t+1}_{i-1}}{\Delta x^2}\right]=q^{t+1}_i$

Ich arbeite derzeit an den Details der Konvergenz des Schemas, indem ich dessen Konsistenz und Stabilität analysiere. Der Konsistenzteil scheint mir ziemlich einfach zu sein, aber ich sehe bereits einige Schwierigkeiten mit der Stabilitätsanalyse. Zunächst gibt es zwei Variablen und zwei Gleichungen. Zweitens gibt es in der zweiten Gleichung auch einen gemischten raumzeitlichen abgeleiteten Term. Ich kenne die Stabilitätsanalyse von Neumann und kann sehen, dass es sehr schwierig sein wird, mit dieser Methode Stabilität herzustellen. Gibt es Alternativen zur von neumann-Analyse, die ich verwenden kann?

— Paul
quelle

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Wenn Sie sich bei der Analyse mit einem Gleichungssystem nicht wohl fühlen, differenzieren Sie einfach die erste Gleichung in Bezug auf

und die zweite in Bezug auf

. Verwenden Sie dann die Gleichheit gemischter partieller Derivate, um

zu eliminieren .

t

$t$

x

$x$

u

$u$

— David Ketcheson

@ DavidKetcheson: Interessant. Im Wesentlichen schlagen Sie vor, dass ich das System auf eine einzige Variable reduzieren und die Standard-von-Neumann-Analyse auf

ohne die Allgemeingültigkeit für

?

p

$p$

u

$u$

— Paul

Es ist das gleiche Problem, ob Sie es als System oder als skalare PDE schreiben.

— David Ketcheson

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Wenn Sie, zumindest für Ihre Analyse, ersetzen, vonkönnen Sie Ihr System alsschreiben $\frac{\partial u}{\partial x}$ $u_x$ wo alle Konstanten auf und wo der Index

[\begin{matrix} 0 & 0 \\ ich & ich \end{matrix}] \frac{d}{d t} [\begin{matrix} p_{h} (t) \\ u_{x, h} (t) \end{matrix}] + [\begin{matrix} - \partial_{h} & \partial_{h} \\ - Δ_{h} & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} p_{h} (t) \\ u_{x, h} (t) \end{matrix}] = [\begin{matrix} q_{h} (t) \\ 0 \end{matrix}] (*)

$\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ I & I \end{bmatrix} \frac{d}{dt} \begin{bmatrix} p_h(t) \\ u_{x,h}(t) \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} -\partial_h & \partial_h \\ -\Delta_h & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} p_h(t) \\ u_{x,h}(t) \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} q_h(t) \\ 0 \end{bmatrix} \quad (*)$

1

$1$

bezieht sich auf die Raumdiskretisierung sowohl der Variablen als auch der Differentialoperatoren. Ihr Schema wird dann erhalten, indem man

approximiert

_{h}

${}_h$

über implizite Euler.

\frac{d}{d t}

$\frac{d}{dt}$

Nun ist die differentiell-algebraische (DAE) Struktur offensichtlich. Für die Variablen gibt es sowohl Differentialgleichungen (in der Zeit) als auch algebraische Gleichungen.

Wenn Sie zeigen können, dass invertierbar ist, vgl. dieser Vorabdruck [S. 3] und die folgende Bearbeitung, als der DAE Index 1 oder Fremdheit-frei ist und implizite Euler bekannt ist, konvergent zu sein, siehe Theorem 5.12 in diesem Buch . (Haftungsausschluss: Dieses Buch ist nicht frei verfügbar und wird von meinem Doktorvater verfasst.) $\begin{bmatrix} -\partial_h & \partial_h \\ I & I \end{bmatrix}$

Mit diesem Ansatz können Sie die Stabilitätsanalyse umgehen.

$L^2$ $(*)$ $\Delta_h$ $\partial_h$

$(*)$ $u\leftarrow u_x$

ANHANG: Eine DAE wird als Index 1 bezeichnet, wenn sie ohne Differenzierung der Gleichungen in eine ODE umgewandelt werden kann.

[\begin{matrix} E_{1} \\ 0 \end{matrix}] \dot{y} + [\begin{matrix} {EIN}_{1} \\ {EIN}_{2} \end{matrix}] y = f .

$\begin{bmatrix} E_1 \\ 0 \end{bmatrix}\dot y + \begin{bmatrix} A_1 \\ A_2 \end{bmatrix} y = f.$

[\begin{matrix} E_{1} \\ A_{2} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} E_1 \\ A_2 \end{bmatrix}$

\tilde{y} \to y

$\tilde y \to y$

[\begin{matrix} E_{1} \\ A_{2} \end{matrix}] \to [\begin{matrix} {\tilde{E}}_{11} & {\tilde{E}}_{12} \\ {\tilde{A}}_{21} & {\tilde{A}}_{22} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} E_1 \\ A_2 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} \tilde E_{11} & \tilde E_{12} \\ \tilde A_{21} & \tilde A_{22} \end{bmatrix}$

{\tilde{A}}_{22}

$\tilde A_{22}$

A_{2}

$A_2$

{\tilde{A}}_{11} - {\tilde{E}}_{12} {\tilde{A}}_{22}^{- 1} {\tilde{A}}_{21}

$\tilde A_{11} - \tilde E_{12} \tilde A_{22}^{-1} \tilde A_{21}$

$(*)$ $A_2:=[-\partial_h ~ \partial_h]$ $\tilde y_2$ $(p_h,u_{x,h})$ $\frac{d}{dt}\tilde y_2$ $(*)$

— Jan
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[\begin{array}{cc} - \partial_{h} & \partial_{h} \\ ich & ich \end{array}]

$\left[\begin{array}{cc}-\partial_h &\partial_h\\ I & I \end{array}\right]$

@ Paul Ich habe keinen Satz Referenz finden, so dass ich die Argumente in meine Antwort einfügen wird ...

— Jan

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Die hier angegebenen Gleichungen sind mir nicht bekannt, aber ich erinnere mich, dass ich in meinem Kurs eine andere Methode zur Überprüfung der Stabilität eines numerischen Schemas gelernt habe. Es ist als Modified Equation Analysis bekannt.

Hier ist eine gute Referenz dafür,

http://193.146.160.29/gtb/sod/usu/$UBUG/repositorio/10291890_Warming.pdf

In der obigen Literaturstelle wird der Zusammenhang zwischen der auf der Analyse der modifizierten Gleichung basierenden Stabilitätstheorie und der Stabilitätsanalyse nach Von Neumann hergestellt.

Nach einer kurzen Online-Suche stieß ich auf folgende Referenzen:

In diesem Artikel wird die Finite-Differenz-Modellierung von Biots poroelastischen Gleichungen bei seismischen Frequenzen erörtert. Es gibt auch einen Abschnitt zur Stabilität des numerischen Schemas.

Dieses Papier stellt eine Lösungsstrategie des gekoppelten Systems zu entkoppeln, und die Stabilität des numerischen Verfahrens zu überprüfen.

— Subodh
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Ich habe die modifizierte Gleichungsanalyse nicht für die obigen Gleichungen durchgeführt, aber als die Frage nach Alternativen zur Von-Neumann-Analyse gestellt wurde, schrieb ich die obige Antwort. Es ist durchaus möglich, dass es die Frage nicht beantwortet. Aber jemand könnte die aufgelisteten Referenzen für seine Arbeit nützlich finden.

— Subodh

Vielen Dank für den Hinweis! Ich kann sehen, dass das Formular, das in Ihrem Artikel zur Analyse modifizierter Gleichungen benötigt wird, nicht ganz zu den von mir verwendeten Gleichungen passt, aber es ist faszinierend, neue Analysetechniken zu erlernen!

— Paul