2
UMVUE von
Sei (X1,X2,…,Xn)(X1,X2,…,Xn)(X_1,X_2,\ldots,X_n) eine Zufallsstichprobe aus der Dichte fθ(x)=θxθ−110<x<1,θ>0fθ(x)=θxθ−110<x<1,θ>0f_{\theta}(x)=\theta x^{\theta-1}\mathbf1_{00 Ich versuche, den UMVUE von θ zu findenθ1+θθ1+θ\frac{\theta}{1+\theta} . Die Fugendichte von (X1,…,Xn)(X1,…,Xn)(X_1,\ldots,X_n) beträgt fθ(x1,⋯,xn)=θn(∏i=1nxi)θ−110<x1,…,xn<1=exp[(θ−1)∑i=1nlnxi+nlnθ+ln(10<x1,…,xn<1)],θ>0fθ(x1,⋯,xn)=θn(∏i=1nxi)θ−110<x1,…,xn<1=exp[(θ−1)∑i=1nlnxi+nlnθ+ln(10<x1,…,xn<1)],θ>0\begin{align} f_{\theta}(x_1,\cdots,x_n)&=\theta^n\left(\prod_{i=1}^n x_i\right)^{\theta-1}\mathbf1_{00 \end{align} Da die Bevölkerung pdf fθfθf_{\theta} auf die Ein-Parameter exponentiellen Familie gehört, das zeigt , dass eine vollständige erschöpfende Statistik für θθ\theta sei T(X1,…,Xn)=∑i=1nlnXiT(X1,…,Xn)=∑i=1nlnXiT(X_1,\ldots,X_n)=\sum_{i=1}^n\ln …