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Schiefe des Logarithmus einer Gamma-Zufallsvariablen
Betrachte die Gamma-Zufallsvariable . Es gibt übersichtliche Formeln für Mittelwert, Varianz und Schiefe:X∼Γ(α,θ)X∼Γ(α,θ)X\sim\Gamma(\alpha, \theta) E[X]Var[X]Skewness[X]=αθ=αθ2=1/α⋅E[X]2=2/α−−√E[X]=αθVar[X]=αθ2=1/α⋅E[X]2Schiefe[X]=2/α\begin{align} \mathbb E[X]&=\alpha\theta\\ \operatorname{Var}[X]&=\alpha\theta^2=1/\alpha\cdot\mathbb E[X]^2\\ \operatorname{Skewness}[X]&=2/\sqrt{\alpha} \end{align} Betrachten Sie nun eine logarithmisch transformierte Zufallsvariable . Wikipedia gibt Formeln für den Mittelwert und die Varianz an:Y=log(X)Y.=Log(X)Y=\log(X) E[Y]Var[Y]=ψ(α)+log(θ)=ψ1(α)E[Y.]=ψ(α)+Log(θ)Var[Y.]=ψ1(α)\begin{align} \mathbb E[Y]&=\psi(\alpha)+\log(\theta)\\ \operatorname{Var}[Y]&=\psi_1(\alpha)\\ \end{align} über Digamma- und Trigammafunktionen, die als …