Schiefe des Logarithmus einer Gamma-Zufallsvariablen

Betrachte die Gamma-Zufallsvariable . Es gibt übersichtliche Formeln für Mittelwert, Varianz und Schiefe: $X\sim\Gamma(\alpha, \theta)$

\begin{aligned} E [X] & = α θ \\ Var [X] & = α θ^{2} = 1 / α \cdot E [X]^{2} \\ Schiefe [X] & = 2 / \sqrt{α} \end{aligned}

$\begin{align} \mathbb E[X]&=\alpha\theta\\ \operatorname{Var}[X]&=\alpha\theta^2=1/\alpha\cdot\mathbb E[X]^2\\ \operatorname{Skewness}[X]&=2/\sqrt{\alpha} \end{align}$

Betrachten Sie nun eine logarithmisch transformierte Zufallsvariable . Wikipedia gibt Formeln für den Mittelwert und die Varianz an: $Y=\log(X)$

\begin{aligned} E [Y.] & = ψ (α) + Log (θ) \\ Var [Y.] & = ψ_{1} (α) \end{aligned}

$\begin{align} \mathbb E[Y]&=\psi(\alpha)+\log(\theta)\\ \operatorname{Var}[Y]&=\psi_1(\alpha)\\ \end{align}$

über Digamma- und Trigammafunktionen, die als erste und zweite Ableitung des Logarithmus der Gammafunktion definiert sind.

Wie lautet die Formel für die Schiefe?

Erscheint die Tetragammafunktion?

(Was mich wunderte, war die Wahl zwischen lognormalen und gamma-Verteilungen, siehe Gamma vs. lognormalen Verteilungen . Sie unterscheiden sich unter anderem in ihren Schiefeigenschaften. Insbesondere ist die Schiefe des lognormalen Logarithmus trivial gleich Null Die Schiefe des Gamma-Logs ist negativ, aber wie negativ?

gamma-distribution skewness logarithm

— Amöbe sagt Reinstate Monica
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Hilft das ? Oder das ?

— S. Kolassa - Setzen Sie Monica

Ich bin nicht ganz sicher, was Log-Gamma-Verteilung ist. Wenn es mit Gamma zusammenhängt, weil lognormal mit normal zusammenhängt, dann frage ich nach etwas anderem (weil "lognormal" verwirrenderweise die Verteilung von exp (normal) ist, nicht von log (normal)).

— Amöbe sagt Reinstate Monica

@ Glen_b: Um ehrlich zu sein, würde ich sagen, dass es weitaus inkonsistenter und verwirrender ist, das Exponential des Normalen als "lognormal" zu bezeichnen. Obwohl leider mehr etabliert.

— S. Kolassa - Setzen Sie Monica

@Stephan siehe auch log-logistic, log-Cauchy, log-Laplace usw. usw. Es ist eine klarer etablierte Konvention als das Gegenteil

— Glen_b -Reinstate Monica

Ja; Aus diesem Grund habe ich darauf geachtet, in Bezug auf diese Distribution nirgendwo "log-gamma" zu sagen. (Ich habe es in der Vergangenheit in einer konsistenten Weise verwendet, um die log-normal)

— Glen_b - Monica

Antworten:

Hilfreich ist in diesem Fall die Momenterzeugungsfunktion von , da sie eine einfache algebraische Form hat. Nach der Definition von mgf haben wir $M(t)$ $Y=\ln X$

\begin{aligned} M (t) & = E [e^{t \ln X}] = E [X^{t}] \\ = \frac{1}{Γ (α) θ^{α}} \int_{0}^{\infty} x^{α + t - 1} e^{- x / θ} d x \\ = \frac{θ^{t}}{Γ (α)} \int_{0}^{\infty} y^{α + t - 1} e^{- y} d y \\ = \frac{θ^{t} Γ (α + t)}{Γ (α)} . \end{aligned}

$\begin{aligned}M(t)&=\operatorname{E}[e^{t\ln X}]=\operatorname{E}[X^t]\\ &=\frac{1}{\Gamma(\alpha)\theta^\alpha}\int_0^\infty x^{\alpha+t-1}e^{-x/\theta}\,dx\\ &=\frac{\theta^{t}}{\Gamma(\alpha)}\int_0^\infty y^{\alpha+t-1}e^{-y}\,dy\\ &=\frac{\theta^t\Gamma(\alpha+t)}{\Gamma(\alpha)}.\end{aligned}$

Lassen Sie uns die Erwartung und die Varianz überprüfen, die Sie angegeben haben. Nehmen wir Derivate, so ist und

M^{'} (t) = \frac{Γ^{'} (α + t)}{Γ (α)} θ^{t} + \frac{Γ (α + t)}{Γ (α)} θ^{t} \ln (θ)

$M'(t)=\frac{\Gamma'(\alpha+t)}{\Gamma(\alpha)}\theta^t+\frac{\Gamma(\alpha+t)}{\Gamma(\alpha)}\theta^t\ln(\theta)$

Daher ist

M^{″} (t) = \frac{Γ^{″} (α + t)}{Γ (α)} θ^{t} + \frac{2 Γ^{'} (α + t)}{Γ (α)} θ^{t} \ln (θ) + \frac{Γ (α + t)}{Γ (α)} θ^{t} \ln^{2} (θ) .

$M''(t)=\frac{\Gamma''(\alpha+t)}{\Gamma(\alpha)}\theta^t+\frac{2\Gamma'(\alpha+t)}{\Gamma(\alpha)}\theta^t\ln(\theta)+\frac{\Gamma(\alpha+t)}{\Gamma(\alpha)}\theta^t\ln^2(\theta).$

Es folgt dann

E [Y] = ψ^{(0)} (α) + \ln (θ), E [Y^{2}] = \frac{Γ^{″} (α)}{Γ (α)} + 2 ψ^{(0)} (α) \ln (θ) + \ln^{2} (θ) .

$\operatorname{E}[Y]=\psi^{(0)}(\alpha)+\ln(\theta),\qquad\operatorname{E}[Y^2]=\frac{\Gamma''(\alpha)}{\Gamma(\alpha)}+2\psi^{(0)}(\alpha)\ln(\theta)+\ln^2(\theta).$

Var (Y.) = E [{Y.}^{2}] - E [Y.]^{2} = \frac{Γ^{″} (α)}{Γ (α)} - {(\frac{Γ^{'} (α)}{Γ (α)})}^{2} = ψ^{(1)} (α) .

$\operatorname{Var}(Y)=\operatorname{E}[Y^2]-\operatorname{E}[Y]^2=\frac{\Gamma''(\alpha)}{\Gamma(\alpha)}-\left(\frac{\Gamma'(\alpha)}{\Gamma(\alpha)}\right)^2=\psi^{(1)}(\alpha).$

K (t) = \ln M (t) = t \ln θ + \ln Γ (α + t) - \ln Γ (α) .

$K(t)=\ln M(t)=t\ln\theta+\ln\Gamma(\alpha+t)-\ln\Gamma(\alpha).$

K^{'} (0) = ψ^{(0)} (α) + \ln (θ)

$K'(0)=\psi^{(0)}(\alpha)+\ln(\theta)$

ψ^{(n)} (x) = d^{n + 1} \ln Γ (x) / d x^{n + 1}

$\psi^{(n)}(x)=d^{n+1}\ln\Gamma(x)/dx^{n+1}$

K^{(n)} (0) = ψ^{(n - 1)} (α)

$K^{(n)}(0)=\psi^{(n-1)}(\alpha)$

n \geq 2

$n\geq2$

\frac{E [(Y - E [Y])^{3}]}{Var (Y)^{3 / 2}} = \frac{ψ^{(2)} (α)}{[ψ^{(1)} (α)]^{3 / 2}} .

$\frac{\operatorname{E}[(Y-\operatorname{E}[Y])^3]}{\operatorname{Var}(Y)^{3/2}}=\frac{\psi^{(2)}(\alpha)}{[\psi^{(1)}(\alpha)]^{3/2}}.$

Nebenbei bemerkt, diese bestimmte Verteilung schien von AC Olshen in seinen Transformationen der Pearson-Typ-III-Verteilung gründlich untersucht worden zu sein. Johnson et al . Schauen Sie sich die an.

— Francis
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K (t) = \log [M (t)] = t \log [θ] + \log [Γ (α + t)] - \log [Γ (α)]

$K (t)=\log [M (t)]=t\log [\theta]+\log [\Gamma (\alpha+t)]-\log [\Gamma (\alpha)]$

M (t)

$M (t)$

s k e w = K^{(3)} (0) = ψ^{(2)} (α)

$skew=K^{(3)}(0)=\psi^{(2)}(\alpha)$

ψ^{(n)} (z)

$\psi^{(n)}(z)$

@ probabilityislogic: Sehr guter Anruf, änderte meine Antwort

— Francis

@probabilityislogic Dies ist eine großartige Ergänzung, vielen Dank. Ich möchte nur anmerken, damit einige Leser nicht verwirrt sind, dass die Schiefe nicht direkt durch die dritte Kumulante gegeben ist: Es ist der dritte standardisierte Moment, nicht der dritte zentrale Moment. Francis hat es richtig in seiner Antwort, aber die letzte Formel in Ihrem Kommentar ist nicht ganz richtig.

— Amöbe sagt Reinstate Monica

I. Direkte Berechnung

\int_{0}^{\infty} x^{ν - 1} e^{- μ x} (\ln x)^{p} d x

$\int_0^\infty x^{\nu-1}e^{-\mu x}(\ln x)^p dx$

p = 2, 3, 4

$p=2,3,4$

p = 1

$p=1$

Γ, ψ

$\Gamma, \psi$

ζ

$\zeta$

p

$p$ als Ableitung einer Gammafunktion ist es also vermutlich machbar, höher zu gehen. Schiefe ist also durchaus machbar, aber nicht besonders "ordentlich".

Details zur Herleitung der Formeln in 4.358 finden sich in [2]. Ich zitiere die dort angegebenen Formeln, da sie etwas prägnanter formuliert sind, und setze 4.352.1 in die gleiche Form.

$\delta= \psi(a)-\ln \mu$

\begin{aligned} \int_{0}^{\infty} x^{ein - 1} e^{- μ x} \ln x d x & = \frac{Γ (ein)}{μ^{ein}} {δ} \\ \int_{0}^{\infty} x^{ein - 1} e^{- μ x} \ln^{2} x d x & = \frac{Γ (ein)}{μ^{ein}} {δ^{2} + ζ (2, ein)} \\ \int_{0}^{\infty} x^{ein - 1} e^{- μ x} \ln^{3} x d x & = \frac{Γ (ein)}{μ^{ein}} {δ^{3} + 3 ζ (2, ein) δ - 2 ζ (3, ein)} \\ \int_{0}^{\infty} x^{ein - 1} e^{- μ x} \ln^{4} x d x & = \frac{Γ (ein)}{μ^{ein}} {δ^{4} + 6 ζ (2, ein) δ^{2} - 8 ζ (3, ein) δ + 3 ζ^{2} (2, ein) + 6 ζ (4, ein))} \end{aligned}

$\begin{align} \int_0^\infty x^{a-1} e^{-\mu x} \ln x \,dx &=\frac{\Gamma(a)}{\mu^a}\left\{ \delta \right\} \\ \int_0^\infty x^{a-1} e^{-\mu x} \ln^2\!x \,dx &=\frac{\Gamma(a)}{\mu^a}\left\{ \delta^2+\zeta(2,a) \right\} \\ \int_0^\infty x^{a-1} e^{-\mu x} \ln^3\!x \,dx &=\frac{\Gamma(a)}{\mu^a}\left\{ \delta^3+3\zeta(2,a)\delta-2\zeta(3,a) \right\} \\ \int_0^\infty x^{a-1} e^{-\mu x} \ln^4\!x \,dx &=\frac{\Gamma(a)}{\mu^a}\left\{ \delta^4+6\zeta(2,a)\delta^2-8\zeta(3,a)\delta + 3\zeta^2(2,a)+6\zeta(4,a)) \right\} \end{align}$

$\zeta(z,q)=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+q)^z}$ $q=1$

Nun zu den Momenten des Logs einer Gamma-Zufallsvariablen.

Man beachte zunächst, dass der Skalen- oder Ratenparameter der Gammadichte auf der logarithmischen Skala lediglich ein Verschiebungsparameter ist und daher keinen Einfluss auf die zentralen Momente hat. Wir können jeden nehmen, den wir benutzen, um 1 zu sein.

$X\sim \text{Gamma}(\alpha,1)$

E ({Log}^{p} X) = \frac{1}{Γ (α)} \int_{0}^{\infty} {Log}^{p} x x^{α - 1} e^{- x} d x .

$E(\log^{p}\!X) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_0^\infty \log^{p}\!x\, x^{\alpha-1} e^{-x} \,dx.$

$\mu=1$ $E(Y)$ $E(Y^2)$ $E(Y^3)$ $E(Y^4)$

$\mu$ $\mu_k$ $k$

$\frac{\mu_3}{\mu_2^{3/2}}$ $\frac{\mu_4}{\mu_2^{2}}$

Ein Hinweis zur Terminologie

Es sieht so aus, als ob Wolframs Referenzseiten die Momente dieser Verteilung (sie nennen sie ExpGamma- Verteilung) in Bezug auf die Polygammafunktion schreiben .

Im Gegensatz dazu nennt Chan (siehe unten) dies die Log-Gamma-Verteilung.

II. Chans Formeln über MGF

$\Gamma(\alpha+t)/\Gamma(\alpha)$

$\log(X)$ $E(X^t)$

Folglich haben die Momente ziemlich einfache Formen. Chan gibt:

E (Y.) = ψ (α)

$E(Y)=\psi(\alpha)$

und die zentralen Momente als

\begin{aligned} E (Y. - μ_{Y.})^{2} & = ψ^{'} (α) \\ E (Y. - μ_{Y.})^{3} & = ψ^{″} (α) \\ E (Y. - μ_{Y.})^{4} & = ψ^{‴} (α) \end{aligned}

$\begin{align} E(Y-\mu_Y)^2 &= \psi'(\alpha) \\ E(Y-\mu_Y)^3 &= \psi''(\alpha) \\ E(Y-\mu_Y)^4 &= \psi'''(\alpha) \end{align}$

$\psi''(\alpha)/(\psi'(\alpha)^{3/2})$ $\psi'''(\alpha)/(\psi'(\alpha)^{2})$

$\psi$ $\psi'$

Folglich können wir die Schiefe und Kurtosis ganz direkt in R berechnen:

skew.eg <- function(a) psigamma(a,2)/psigamma(a,1)^(3/2)
kurt.eg <- function(a) psigamma(a,3)/psigamma(a,1)^2

a $\alpha$

$\beta_2$ $\psi'''(1)/\psi'(1)^2$

Die Simulation bestätigt, dass mit zunehmender Stichprobengröße die Kurtosis eines Logarithmus eines Exponentials gegen 5,4 konvergiert und nicht gegen 2,4. Es scheint, dass die These möglicherweise einen Fehler hat.

Folglich scheinen Chans Formeln für zentrale Momente tatsächlich die Formeln für die Kumulanten zu sein (siehe die Herleitung in der Antwort von Francis). Dies würde dann bedeuten, dass die Skewness-Formel so wie sie ist korrekt war; weil das zweite und dritte Kumulat gleich dem zweiten und dritten zentralen Moment sind.

Trotzdem sind dies besonders praktische Formeln, solange wir bedenken, dass kurt.eges zu einer übermäßigen Kurtosis kommt.

Verweise

[1] Gradshteyn, IS & Ryzhik IM (2007), Tabelle der Integrale, Reihen und Produkte, 7. Ausgabe.
Academic Press, Inc.

[2] Victor H. Moll (2007)
Die Integrale in Gradshteyn und Ryzhik, Teil 4: Die Gammafunktion
. 15, 37–46
Universidad Técnica Federico Santa María, Valparaíso, Chile
http://129.81.170.14/~vhm/FORM-PROOFS_html/final4.pdf

[3] Chan, PS (1993),
Eine statistische Studie zur Log-Gamma-Verteilung,
McMaster University (Dissertation)
https://macsphere.mcmaster.ca/bitstream/11375/6816/1/fulltext.pdf

— Glen_b - Setzen Sie Monica wieder ein
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ψ^{″} (α) / ψ^{'} (α)^{3 / 2}

$\psi''(\alpha)/\psi'(\alpha)^{3/2}$

Entschuldigung, ich habe gerade erst Ihren Kommentar gesehen (ich habe ihn ungefähr eine Stunde lang bearbeitet). Das ist richtig, aber wenn die Enzyklopädie Kurtosis so angibt, wie Chan es in seiner These angibt, scheint es, dass es falsch ist (wie oben angegeben), aber leicht korrigiert. Die übersichtlichen Formeln scheinen eher für Kumulanten als für standardisierte zentrale Momente zu gelten.

— Glen_b

Ja, die Enzyklopädie gibt die gleiche Formel für Kurtosis an.

— Amöbe sagt Reinstate Monica

γ_{1}

$\gamma_1$

γ_{2}

$\gamma_2$

ψ^{(n)} (z) = (- 1)^{n + 1} Γ (n + 1) ζ (n + 1, z)

$\psi^{(n)}(z)=(-1)^{n+1}\,\Gamma(n+1)\,\zeta(n+1,z)$