Als «finite-difference» getaggte Fragen

Bezugnehmend auf die Diskretisierung von Derivaten durch endliche Differenzen und ihre Anwendung auf numerische Lösungen partieller Differentialgleichungen.

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Seltsame Schwingung beim Lösen der Advektionsgleichung durch Finite-Differenzen mit vollständig geschlossenen Neumann-Randbedingungen (Reflexion an Grenzen)
Ich versuche, die Advektionsgleichung zu lösen, aber es erscheint eine seltsame Schwingung in der Lösung, wenn die Welle von den Grenzen reflektiert wird. Wenn jemand dieses Artefakt schon einmal gesehen hat, wäre ich daran interessiert, die Ursache zu kennen und wie man sie vermeidet! Dies ist ein animiertes GIF, das …
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Ein guter endlicher Unterschied für die Kontinuitätsgleichung
Was wäre eine gute Finite-Differenzen-Diskretisierung für die folgende Gleichung: ∂ρ∂t+∇⋅(ρu)=0∂ρ∂t+∇⋅(ρu)=0\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \left(\rho u\right)=0? Wir können den 1D Fall nehmen: ∂ρ∂t+ddx(ρu)=0∂ρ∂t+ddx(ρu)=0\frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{d}{dx}\left(\rho u\right)=0 Aus irgendeinem Grund sind alle Schemata, die ich finden kann, für die Formulierung in Lagrange-Koordinaten. Ich habe mir vorerst dieses Schema …
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gleichmäßiges gegen ungleichmäßiges Gitter
Es ist wahrscheinlich eine Frage auf Schülerebene, aber ich kann sie nicht genau für mich selbst tun. Warum ist es genauer, in den numerischen Methoden ungleichmäßige Gitter zu verwenden? Ich denke im Kontext einer Finite-Differenzen-Methode für die PDE der Form . Und nehme an, ich interessiere mich für eine Lösung …
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Schreiben der Finite-Differenz-Matrix der Poisson-Gleichung mit Neumann-Randbedingungen
Ich bin daran interessiert, die Poisson-Gleichung mit dem Finite-Differenzen-Ansatz zu lösen. Ich möchte besser verstehen, wie man die Matrixgleichung mit Neumann-Randbedingungen schreibt. Würde jemand das Folgende überprüfen, ist es richtig? Die Finite-Differenz-Matrix Die Poisson-Gleichung, ∂2u(x)∂x2=d(x)∂2u(x)∂x2=d(x) \frac{\partial^2u(x)}{\partial x^2} = d(x) kann durch eine Finite-Differenz-Matrix-Gleichung angenähert werden, 1(Δx)2M∙u^=d^1(Δx)2M∙u^=d^ \frac{1}{(\Delta x)^2} \textbf{M}\bullet \hat …
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Implizite Finite-Differenzen-Schemata für Advektionsgleichungen
Es gibt zahlreiche FD-Schemata für die Advektionsgleichung im Web diskutieren. Zum Beispiel hier: http://farside.ph.utexas.edu/teaching/329/lectures/node89.html∂T∂t+u∂T∂x=0∂T∂t+u∂T∂x=0\frac{\partial T}{\partial t}+u\frac{\partial T}{\partial x}=0 Aber ich habe noch niemanden gesehen, der ein "implizites" Gegenwindschema wie dieses vorschlug: .Tn+1i−Tniτ+uTn+1i−Tn+1i−1hx=0Tin+1−Tinτ+uTin+1−Ti−1n+1hx=0\frac{T^{n+1}_i-T^{n}_i}{\tau}+u\frac{T^{n+1}_i-T^{n+1}_{i-1}}{h_x}=0 Alle Aufwindschemata, die ich gesehen habe, handelten von Daten des vorherigen Zeitschritts in der räumlichen Ableitung. Was ist …
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Wie kann man Variablen neu anordnen, um eine gebänderte Matrix mit minimaler Bandbreite zu erzeugen?
Ich versuche, eine 2D-Poisson-Gleichung durch endliche Differenzen zu lösen. Dabei erhalte ich eine spärliche Matrix mit nur Variablen in jeder Gleichung. Wenn die Variablen beispielsweise wären, würde die Diskretisierung ergeben:555UUU Ui−1,j+Ui+1,j−4Ui,j+Ui,j−1+Ui,j+1=fi,jUi−1,j+Ui+1,j−4Ui,j+Ui,j−1+Ui,j+1=fi,jU_{i-1,j} + U_{i+1,j} -4U_{i,j} + U_{i,j-1} + U_{i,j+1} = f_{i,j} Ich weiß, dass ich dieses System durch eine iterative Methode …
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Randbedingungen für die Advektionsgleichung, diskretisiert durch eine Finite-Differenzen-Methode
Ich versuche einige Ressourcen zu finden, um zu erklären, wie man Randbedingungen wählt, wenn man Finite-Differenzen-Methoden zur Lösung von PDEs einsetzt. Die Bücher und Notizen, auf die ich momentan Zugriff habe, sagen ähnliche Dinge aus: Die allgemeinen Regeln für die Stabilität bei Vorhandensein von Grenzen sind für einen Einführungstext viel …
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Veranschaulichende Beispiele für mimetische Finite-Differenzen-Methoden
So sehr ich im Internet versuche, eine präzise Erklärung zu finden, kann ich das Konzept eines mimetischen endlichen Unterschieds oder dessen Zusammenhang mit standardmäßigen endlichen Unterschieden anscheinend nicht verstehen. Es wäre sehr hilfreich, einige einfache Beispiele zu sehen, wie sie für klassische lineare PDEs (hyperbolisch, elliptisch und parabolisch) implementiert werden.
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Wie man Randbedingungen in Finite-Differenzen-Methoden auferlegt
Ich habe ein Problem, wenn ich die Näherung für die Mittendifferenz höherer Ordnung verwenden möchte: (−ui+2,j+16ui+1,j−30ui,j+16ui−1,j−ui−2,j12)(−ui+2,j+16ui+1,j−30ui,j+16ui−1,j−ui−2,j12)\left(\frac{-u_{i+2,j}+16u_{i+1,j}-30u_{i,j}+16u_{i-1,j}-u_{i-2,j}}{12}\right) für die Poisson-Gleichung (uxx+uyy=0)(uxx+uyy=0)(u_{xx}+u_{yy}=0) in einer quadratischen Domäne, in der die Randbedingungen sind: Δ x = Δ Y = 0,1u(0,y)=u(x,0)=u(x,1)=0,u(1,y)=sinπyu(0,y)=u(x,0)=u(x,1)=0,u(1,y)=sin⁡πyu(0,y)=u(x,0)=u(x,1)=0,u(1,y)=\sin \pi y Δx=Δy=0.1Δx=Δy=0.1\Delta{x}=\Delta{y}=0.1 Wenn ich den Wert von inneren Punkten der Domäne erhalten möchte, …
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Was sind die Grundprinzipien für das Erzeugen eines sich bewegenden Netzes?
Ich interessiere mich für die Implementierung eines sich bewegenden Netzes für ein Advektions-Diffusions-Problem. Adaptive Moving Mesh Methods gibt ein gutes Beispiel dafür, wie dies für die Burger-Gleichung in 1D unter Verwendung von Finite-Differenzen durchgeführt wird. Wäre jemand in der Lage, ein Beispiel zur Lösung der 1D-Advektions-Diffusions-Gleichung unter Verwendung der endlichen …
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Alternativen zur von-Neumann-Stabilitätsanalyse für Finite-Differenzen-Methoden
Ich arbeite an der Lösung der gekoppelten eindimensionalen Poroelastizitätsgleichungen (Biot-Modell), gegeben als: −(λ+2μ)∂2u∂x2+∂p∂x=0−(λ+2μ)∂2u∂x2+∂p∂x=0-(\lambda+ 2\mu) \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial p}{\partial x} = 0 ∂∂t[γp+∂u∂x]−κη[∂2p∂x2]=q(x,t)∂∂t[γp+∂u∂x]−κη[∂2p∂x2]=q(x,t)\frac{\partial}{\partial t} \left[ \gamma p + \frac{\partial u}{\partial x}\right] -\frac{\kappa}{\eta}\left[\frac{\partial^2 p}{\partial x^2}\right] =q(x,t) in der Domäne und mit den Randbedingungen: Ω=(0,1)Ω=(0,1)\Omega=(0,1) p=0,(λ+2μ)∂u∂x=−u0p=0,(λ+2μ)∂u∂x=−u0p=0, (\lambda + 2\mu)\frac{\partial u}{\partial x}=-u_0 …
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