gleichmäßiges gegen ungleichmäßiges Gitter

Es ist wahrscheinlich eine Frage auf Schülerebene, aber ich kann sie nicht genau für mich selbst tun. Warum ist es genauer, in den numerischen Methoden ungleichmäßige Gitter zu verwenden? Ich denke im Kontext einer Finite-Differenzen-Methode für die PDE der Form . Und nehme an, ich interessiere mich für eine Lösung am Punkt . Ich kann also sehen, dass der Fehler zweiter Ordnung ist, wenn ich die zweite Ableitung approximiere, zum Beispiel auf einem gleichmäßigen Gitter unter Verwendung einer Dreipunktnäherung . Dann kann ich über eine Abbildung ein ungleichmäßiges Gitter konstruieren und Koeffizienten für die drei Punkte finden, die zur Approximation der Ableitung verwendet werden. Ich kann die Taylor-Expansionen durchführen und erneut eine Schranke für die Ableitung als zweiter Ordnung erhalten , wobeix ≤ O ( h 2 ) O ( h 2 ) $u_t(x,t)=u_{xx}(x,t)$$x^{\ast}$$O(h^2)$$O(h^2)$$h$ ist der Abstand auf einem einheitlichen Gitter, aus dem ich eine Abbildung auf ein ungleichmäßiges Gitter erhalten habe. Beide Schätzungen enthalten Ableitungen, und es ist mir nicht klar, warum die Lösung für ein ungleichmäßiges Gitter genauer sein würde, da sie von der Größe der entsprechenden Ableitungen in Fehlerschätzungen abhängt.

Die Begründung für ungleichmäßige Maschen lautet wie folgt (alle Gleichungen werden als qualitativ verstanden, dh im Allgemeinen wahr, aber ohne den Anspruch, dies unter allen Umständen und für alle Gleichungen oder alle möglichen Diskretisierungen nachweisbar zu sein):

‖ u - u h ‖ 2 L 2 ( Ω ) ≤ C H 4 max ‖ ∇ 2 u ‖ 2 L 2 ( Ω ) . ‖ U - u

$$\|u-u_h\|_{L^2(\Omega)} \le C h_{\text{max}}^2 \|\nabla^2 u\|_{L^2(\Omega)},$$ $$\|u-u_h\|_{L^2(\Omega)}^2 \le C h_{\text{max}}^4 \|\nabla^2 u\|_{L^2(\Omega)}^2.$$ $$\|u-u_h\|_{L^2(\Omega)}^2 \le C \sum_{K \in {\mathbb T}} h_K^4 \|\nabla^2 u\|_{L^2(K)}^2.$$ $K$$\mathbb T$$h_\text{max}$. Vielmehr wird die effizienteste Strategie der cellwise Fehlerbeiträge äquilibrieren - mit anderen Worten, sollten Sie wählen Mit anderen Worten, die lokale Maschengröße sollte klein sein, wenn die Lösung rau ist (große Ableitungen aufweist), und groß, wenn die Lösung glatt ist, und die obige Formel liefert ein quantitatives Maß für diese Beziehung.$h_K^4 \|\nabla^2 u\|_{L^2(K)}^2$ $$h_K \propto \|\nabla^2 u\|_{L^2(K)}^{-1/2}.$$ $h_K$

Beweisen Sie es sich mit diesem Beispiel. Was ist der maximale Fehler beim Interpolieren von sqrt (x) im Intervall [0,1] mit stückweiser linearer Interpolation auf einem einheitlichen Netz?

Was ist der maximale Fehler bei der Interpolation auf einem Netz, bei dem der i-te Punkt durch (i / n) ^ s gegeben ist und s ein sorgfältig ausgewählter Netzkorrekturparameter ist?

$u_t(x,t)=u_{xx}(x,t)$$u_t(x,t)=(D(x)u_x(x,t))_x$$D(x)$$D(x)$

$u(x,0)$

Kamil, das Lösen von Differentialgleichungen ist global, die Interpolation lokal. Bei der stückweisen Polynominterpolation wird die Genauigkeit, die weit von der Singularität entfernt ist, nicht durch die Singularität gestört. Leider ist dies bei der Lösung einer elliptischen Gleichung, z. B. eines Zweipunkt-Randwertproblems, überhaupt nicht der Fall. Die Singularität wird die Annäherung global verschmutzen.

Hier ist etwas zu versuchen. Löse D (sqrt (x) Du) auf [0,1] mit homogenem Dirichlet bcs D ist der Differenzierungsoperator. Verwenden Sie finite Elemente oder finite Differenzen für ein einheitliches n-Punkt-Netz. Vergleichen Sie mit einem Netz, in dem der i-te Punkt (1 / n) ^ 1,5 ist. Beachten Sie, dass der schlechteste Fehler für das gleichmäßige Netz weit von der Singularität entfernt und viel größer ist als für das abgestufte Netz.