Näherungsalgorithmen für metrische TSP


44

Es ist bekannt, dass der metrische TSP innerhalb von approximiert werden kann und nicht besser als 123 approximiert werden kann1.5 in polynomialer Zeit. Ist etwas über das Finden von Approximationslösungen in exponentieller Zeit bekannt (z. B. weniger als2nSchritte mit nur polynomialem Raum)? ZB in welcher Zeit und an welchem ​​Ort können wir eine Tour finden, deren Entfernung höchstens1,1×OPTbeträgt?1231222n1.1×OPT


3
Ein natürlicher Ansatz in Fragen dieser Art Adressierung ist bei der linearen Programmierung Hierarchien aussehen wie Sherali-Adams, Lovász-Schrijver oder Lasserre, die Zeit erlaubt Lauf an der r - ten Ebene (und in der Regel immer bessere Annäherungen, wenn r wächst). Allerdings sind mir keine positiven oder negativen Ergebnisse zur Anwendbarkeit von Hierarchien auf die LP-Relaxation von metrischem TSP (bekannt als Held-Karp) bekannt. poly(nr)rr
MCH

3
Sie meinen wahrscheinlich "möglich" anstatt "gebraucht"? Ich bin mir auch nicht sicher, was Sie unter der Suche nach Lösungen in exponentieller Zeit verstehen, da ich immer die genaue Antwort finden kann. Ich nehme an, Sie meinen "bessere Punkte auf der Annäherungs- / Komplexitäts-Kompromisskurve finden"?
Suresh Venkat

@MCH, vielen Dank, aber ich habe keine Ergebnisse gefunden.
Alex Golovnev

@ Suresh Venkat, danke! Sie haben vollkommen recht, ich meine "möglich" und "besserer Punkt ...". Ich habe meine Frage behoben.
Alex Golovnev

Für den metrischen TSP mit angegebenem Start- und Endpunkt ist der beste Wert . Eine Veröffentlichung des STOC 2012 zum Thema "Verbesserung des Christofides-Algorithmus für den st Path TSP" unterarxiv.org/abs/1110.4604. 1+52
Peng Zhang

Antworten:


53

Ich habe das Problem untersucht und die bekanntesten Algorithmen für TSP gefunden.

nMpoly(n,logM)

1. Genaue Algorithmen für TSP

1.1. Allgemeine ATSP

M2nΩ(n/log(Mn))exp

2n2n

4nnlognpoly

22ntnlog(nt)2tt=n,n/2,n/4,

O(Tn)O(Sn)2<S<2TS<4

2n×M

2n×MM

2n

1.2. Sonderfälle von TSP

1.657n×M

(2ϵ)nϵ

(2ϵ)npolyϵ

1.251npoly

1.890npoly4

1.733n4

1.657npoly

(2ϵ)ndnd

2. Approximationsalgorithmen für TSP

2.1. General TSP

Kann nicht innerhalb einer berechenbaren Polynomzeitfunktion approximiert werden, es sei denn, P = NP ( Sahni, Gonzalez ).

2.2. Metrischer TSP

32

Kann nicht mit einem Verhältnis besser als angenähert werden123122

2.3. Grafik TSP

75

2.4. (1,2) -TSP

MAX-SNP schwer ( Papadimitriou, Yannakakis ).

87

2.5. TSP in Metriken mit begrenzter Dimension

PTAS für TSP in einem festdimensionalen euklidischen Raum ( Arora ; Mitchell ).

logn

PTAS für TSP in Metriken mit begrenzter Verdopplungsdimension ( Bartal, Gottlieb, Krauthgamer ).

2.6. ATSP mit gerichteter Dreieckungleichung

O(1)

Kann nicht mit einem Verhältnis besser als angenähert werden7574

2.7. TSP in Grafiken mit verbotenen Minderjährigen

Lineare Zeit PTAS ( Klein ) für TSP in planaren Graphen.

PTAS für minderjährige Graphen ( Demaine, Hajiaghayi, Kawarabayashi ).

2212

O(loggloglogg)g

2.8. MAX-TSP

79

78

34

3544

2.9. Exponential-Zeit-Approximationen

Es ist möglich, zu berechnen(1+ϵ)2(1ϵ/2)nϵ254(1ϵ/2)nnlognϵ23

Für Ergänzungen und Anregungen wäre ich dankbar.


5
Dies ist eine großartige Zusammenfassung dessen, was bekannt ist. Ich würde Sie ermutigen, diese Antwort zu akzeptieren (auch wenn es Ihre eigene ist).
Suresh Venkat

1
Minor Nitpick: Sie haben anscheinend die Orte für die Inapproximability-Konstanten für Metric TSP und ATSP vertauscht.
Michael Lampis

2
Sie können ebene / begrenzte Gattungen / ausgeschlossene Nebengraphen hinzufügen. Die mir bekannten Ergebnisse sind wie folgt. (1) TSP in planaren Graphen - PTAS mit linearer Zeit ( cs.brown.edu/people/klein/publications/no-contraction.pdf ), (2) TSP in begrenzter Gattung / ausgeschlossenen Nebengraphen - QPTAS für ungewichtete Graphen mit ausgeschlossenen Minderjährigen / gewichtete Graphen mit begrenzter Gattung ( cs.emory.edu/~mic/papers/15.pdf ), (3) ATSP in planaren Graphen - Konstante-Faktor-Approximation ( stanford.edu/~saberi/atsp2.pdf ).
Zotachidil

4
@Alex Golovnev: Björklunds Algorithmus funktioniert nicht für ATSP, es kommt entscheidend darauf an, dass der Graph symmetrisch ist.
Andreas Björklund

3
Das Ergebnis von Erickson-Sidiropoulos ist für ATSP - es ist in der obigen Liste nicht klar. Das PTAS von Arora funktioniert für jede feste Dimension. Ich mag den Begriff "Metric ATSP" nicht.
Chandra Chekuri

27

O(1.932n)O(2n)n(1+ϵ)O(2(1ϵ/2)n)ϵ2/5

Nicolas Boria, Nicolas Bougeois, Bruno Escoffier, Vangelis Th. Paschos: Exponentielle Approximationsschemata für einige Graphprobleme. Online verfügbar .


10

αβα<βγα,β]γθγ2nO(θ)γ(zumindest im konstanten Faktorbereich) Verbesserungen des Approximationsverhältnisses auch bei subexponentieller Zeit. Es gibt mehrere Probleme, bei denen das beste bekannte Härteergebnis durch eine ineffiziente Reduktion von SAT erzielt wird, dh, das Härteergebnis unterliegt einer schwächeren Annahme, wie z. B. NP, das nicht in der Quasipolynomzeit enthalten ist. In solchen Fällen kann man eine bessere Annäherung in subexponentieller Zeit erhalten. Das einzige, von dem ich weiß, ist das Steiner-Baum-Problem. Ein kürzlich bekanntes Ergebnis ist das von Arora-Barak-Steurer über einen subexponentiellen Zeitalgorithmus für einzigartige Spiele: Die Schlussfolgerung, die wir aus diesem Ergebnis ziehen, ist, dass, wenn UGC wahr ist, die Reduktion von SAT zu UGC etwas sein muss ineffizient, das heißt, die Größe der Instanz von UGC, die aus der SAT-Formel erhalten wird, muss in gewisser Weise mit den Parametern wachsen.


2n

Durch die Nutzung unserer Website bestätigen Sie, dass Sie unsere Cookie-Richtlinie und Datenschutzrichtlinie gelesen und verstanden haben.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.