Konfidenzintervalle bei Verwendung des Bayes-Theorems

Ich berechne einige bedingte Wahrscheinlichkeiten und zugehörige 95% -Konfidenzintervalle. In vielen meiner Fälle habe ich eine einfache Anzahl von xErfolgen aus nVersuchen (aus einer Kontingenztabelle), sodass ich ein Binomial-Konfidenzintervall verwenden kann, wie es binom.confint(x, n, method='exact')in in angegeben ist R.

In anderen Fällen habe ich solche Daten jedoch nicht, daher verwende ich den Satz von Bayes, um aus den Informationen zu berechnen, die ich habe. Zum Beispiel bei gegebenen Ereignissen und : $a$ $b$

P (a | b) = \frac{P (b | a) \cdot P (a)}{P (b)}

$P(a|b) = \frac{P(b|a) \cdot P(a)}{P(b)}$

Ich kann ein 95% -Konfidenzintervall um mit berechnen und das berechnen Verhältnis als ihr Frequenzverhältnis . Ist es möglich, anhand dieser Informationen ein Konfidenzintervall um abzuleiten ? $P(b|a)$ $\textrm{binom.confint}(\#\left(b\cap{}a),\#(a)\right)$ $P(a)/P(b)$ $\#(a)/\#(b)$ $P(a|b)$

Vielen Dank.

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— Ken Williams
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a

$a$ und sind Ereignisse. In meinem Fall ist ein Systemfehler (was ziemlich selten ist und daher "in freier Wildbahn" relativ schwer zu finden ist), und ist ein Alarm vor dem Ausfall, daher messe ich die Ausfallwahrscheinlichkeit bei einem Alarm.

b

$b$

a

$a$

b

$b$

— Ken Williams

Der obige Kommentar war eine Antwort auf jemanden, der nach mehr Hintergrundinformationen zu und gefragt hat, diesen Kommentar jedoch anscheinend gelöscht hat.

a

$a$

b

$b$

— Ken Williams

Nun, Sie können nicht einfach das Konfidenzintervall für p (b | a) nehmen und es wegen der Unsicherheit bei der Schätzung dieses Verhältnisses mit p (a) / p (b) skalieren. Wenn Sie ein 100 (1-α)% -Konfidenzintervall für p (a) / p (b) konstruieren können, nennen Sie es [A, B], dann nehmen Sie die Untergrenze für ein 100 (1-α)% -Konfidenzintervall für p ( b | a) und multipliziere es mit A und nimm die Obergrenze für p (b | a) und multipliziere es mit B. Das sollte in einem Intervall ergeben, das mindestens ein Konfidenzniveau von 100 (1-α) % für hat p (a | b).

^{2}

$^2$

— Michael R. Chernick

Könnte funktionieren ... ein Konfidenzintervall für ist mir allerdings nicht klar - möchten Sie dies in den Bereich "Antwort" verschieben? Ich verspreche mindestens eine Gegenstimme. =)

P (a) / P (b)

$P(a)/P(b)$

— Ken Williams

Wollen Sie nicht stattdessen ein Bayes'sches glaubwürdiges Intervall ? Das ist direkt aus der posterioren Verteilung von berechenbar .

a

$a$

— whuber

Nun, Sie können das Konfidenzintervall für aufgrund der Unsicherheit bei der Schätzung dieses Verhältnisses nicht einfach mit skalieren . Wenn Sie ein Konfidenzintervall von für , nehmen Sie die Untergrenze für ein Konfidenzintervall von für und multiplizieren sie mit und nimmt die Obergrenze für und multiplizieren sie von . Dies sollte in einem Intervall erfolgen, das mindestens ein Konfidenzniveau von für . $p(b|a)$ $p(a)/p(b)$ $100(1-\alpha)\%$ $[A, B]$ $p(a)/p(b)$ $100(1-\alpha)\%$ $p(b|a)$ $A$ $p(b|a)$ $B$ $100(1-\alpha)^2\%$ $p(a|b)$

— Michael R. Chernick
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Das scheint zumindest als erster Stich praktikabel. Mir ist jedoch keine Methode zur Ableitung von Konfidenzintervallen für das Verhältnis zweier Bernoulli-Wahrscheinlichkeiten bei beobachteten Zählungen von und in einer Stichprobenpopulation bekannt.

P (a) / P (b)

$P(a)/P(b)$

a

$a$

b

$b$

— Ken Williams

Es gibt eine angebliche Methode zur Berechnung eines Intervalls für von Katz et al., 1978. Ich kann das Originalpapier ohne Paywalls nicht finden, aber dieser Citer scheint die Methode zu zeigen: jstor.org/ entdecken / 10.2307 / 2531405

P (a) / P (b)

$P(a)/P(b)$

— Ken Williams

Wenn ich mich nicht geirrt habe, ist hier eine Funktion, um diese Schätzung des Verhältnisses von Bernoullis-Intervallen durchzuführen:

binrat.confint <- function(x, y, n=Inf, m=n, p=0.95) {   s2 <- 1/x - 1/n + 1/y - 1/m;   x/y * exp(c(-1:1)*pnorm((1+p)/2)*sqrt(s2)) }

— Ken Williams