Wenn Sie die Faltung von PDFs beweisen, erhalten Sie ein PDF

Ich kämpfe mit einer Frage über die Faltung von PDFs, insbesondere, die beweist, dass zwei PDFs gegeben sind $f$ und $g$, dann ihre Faltung $f*g$wird auch ein PDF sein. Nicht-Negativität zu beweisen ist einfach, aber ich habe Mühe zu zeigen, dass die Integrale einen Wert haben$1$. Hier ist mein bisheriger Beweis:

Beachten Sie, dass alle diese Integrale über die Realwerte ausgewertet werden.

$$\int (f*g)(x)\text{d}x = \iint f(y)g(x-y) \text{d}y \text{d}x$$

Sei$z = x-y$

$$\begin{align*} \iint f(y)g(z)\text{d}y\text{d}z&= \int f(y) \text{d}y \int g(z) \text{d}z\\ &= 1 \end{align*}$$

Ich habe die Antwort, aber ich glaube, ich habe einen Fehler bei der Änderung der Substitutionsgrenzen gemacht, als ich die neue Variable einführte . Jeder Rat wäre sehr dankbar.$z$

Sie sehen eher ein Endergebnis als die Herkunft der Faltung. Ausgehend von einem früheren Punkt erleichtert der Beweis.

Wenn und unabhängige Zufallsvariablen mit den Dichten bzw. sind, dann Beachten Sie, dass die linke Seite von hat den Grenzwert als $X$$Y$$f$$g$

$$\begin{align} P\{X+Y \leq z\} &= \int_{-\infty}^\infty P\{X+Y \leq z \mid Y = y\}g(y)\,\mathrm dy & \scriptstyle{\text{law of total probability}}\\ &= \int_{-\infty}^\infty P\{X \leq z-y \mid Y = y\}g(y)\,\mathrm dy\\ &=\int_{-\infty}^\infty P\{X \leq z-y\}g(y)\,\mathrm dy& \scriptstyle{\text{independence of}~X~\text{and}~Y}\\ P\{X+Y \leq z\} &=\int_{-\infty}^\infty \left[ \int_{-\infty}^{z-y} f(x)\,\mathrm dx\right]g(y)\,\mathrm dy \tag{1} \end{align}$$ $(1)$$1$$z \to \infty$;; in der Tat ist der Wert dieses Doppelintegral auf der rechten Seite der CDF der Zufallsvariablen . Der auf angewendete Fundamentalsatz der Berechnung ergibt und so wie Sie beweisen möchten.$Z = X+Y$$(1)$ $$f_{X+Y}(z) = \frac{\mathrm d}{\mathrm dz}P\{X+Y \leq z\} = \int_{-\infty}^\infty f(z-y)g(y)\,\mathrm dy = f\star g$$ $\displaystyle \int_{\mathbb R} f\star g = 1$