Ergibt sich die Unberechenbarkeit der Kolmogorov-Komplexität aus Lawvere's Fixed Point Theorem?

Viele Theoreme und "Paradoxe" - Cantors Diagonalisierung, Unentscheidbarkeit des Schlüpfers, Unentscheidbarkeit der Kolmogorov-Komplexität, Gödel-Unvollständigkeit, Chaitin-Unvollständigkeit, Russells Paradoxon usw. - haben im Wesentlichen den gleichen Beweis durch Diagonalisierung (beachten Sie, dass dies spezifischer ist als das, was sie können) alle werden durch Diagonalisierung bewiesen, vielmehr hat es den Anschein, dass alle diese Theoreme tatsächlich die gleiche Diagonalisierung verwenden (siehe z. B. Yanofsky oder meine Antwort auf diese Frage für eine viel kürzere und weniger formalisierte Darstellung ).

In einem Kommentar zu der oben genannten Frage wies Sasho Nikolov darauf hin, dass die meisten davon Sonderfälle des Lawvere-Fixpunktsatzes waren . Wenn dies alles Sonderfälle wären, wäre dies ein guter Weg, um die obige Idee zu erfassen: Es gäbe wirklich ein Ergebnis mit einem Beweis (Lawvere), aus dem alle obigen als direkte Folgerungen folgten.

Nun, für Gödels Unvollständigkeit und Unentscheidbarkeit des Halteproblems und ihrer Freunde ist bekannt, dass sie aus Lawvere's Fixed Point Theorem folgen (siehe z. B. hier , hier oder Yanofsky ). Aber ich sehe nicht sofort, wie man das für die Unentscheidbarkeit der Kolmogorov-Komplexität macht, obwohl der zugrunde liegende Beweis irgendwie "der gleiche" ist. So:

Ist die Unentscheidbarkeit der Kolmogorov-Komplexität eine schnelle Konsequenz - die keine zusätzliche Diagonalisierung erfordert - von Lawvere's Fixpunktsatz?

— Joshua Grochow
quelle

Ich sollte sagen, dass alles, was ich jemals über dieses Thema wusste, ich aus diesem Blog-Beitrag von Andrej Bauer gelernt habe

— Sasho Nikolov

@MaxNew: Sei

eine berechenbare Funktion, die von einem TM

berechnet wird . Sei

das folgende TM: Bei leerer Eingabe beginnt es, Zeichenfolgen nacheinander zu durchlaufen, bis es ein

mit

und Ausgabe

. Beachten Sie, dass

für einige

nur abhängig von

. Dann für jeden

so dass

f

$f$

M

$M$

M_{k}

$M_k$

x

$x$

f (x) \geq | x | > k

$f(x) \geq |x| > k$

x

$x$

| M_{k} | \leq \log_{2} (k) + c

$|M_k| \leq \log_2(k) + c$

c

$c$

| M |

$|M|$

k

$k$

(jedes ausreichend große

), entweder gibt es kein solches

(in diesem Fall ist

) oder

gibt etwas

so dass

(konstruktionsbedingt), aber die Tatsache, dass

ausgibt,impliziert, dass

, also

k > | M_{k} |

$k > |M_k|$

k

$k$

x

$x$

f \neq C

$f \neq C$

M_{k}

$M_k$

x

$x$

f (x) \geq | x | > k

$f(x) \geq |x| > k$

M_{k}

$M_k$

x

$x$

C (x) \leq | M_{k} | < k

$C(x) \leq |M_k| < k$

f (x) \neq C (x)

$f(x) \neq C(x)$

— Joshua Grochow

@ NealYoung: Ähnlich, aber die beantworten meine Frage nicht ganz. Die Reduzierung des Halteproblems bedeutet, dass HALT die "Quelle" der Unberechenbarkeit ist und dann Reduzierungen verwendet. Aber (zB) der Beweis, den ich in den obigen Kommentaren gegeben habe, zeigt, dass Sie die K-Komplexität auch als "Quelle der Unberechenbarkeit" betrachten können, jedoch durch einen sehr ähnlichen Beweis wie den für HALT. Kann gezeigt werden, dass dieser ähnliche Beweis in gewissem technischen Sinne derselbe ist ? (In diesem Fall, indem ich zeige, dass dies alles Beispiele von Lawvere's Theorem sind, was mir stärker erscheint als viele Arten von Reduktionen.) Das ist es, wonach ich mich wirklich sehne.

— Joshua Grochow

@ NealYoung: Ja, es verallgemeinert Rogers Fixpunktsatz. Aber wenn Sie es nur als Rogers Theorem betrachten, werden Sie den Punkt verfehlen; Der Punkt ist, dass Lawvere allgemein genug ist, um die Beweisstrategie vieler verschiedener Beweise zu erfassen, über die bei Roger hinaus. Das in der Frage erwähnte Yonofsky-Papier soll eine "kategorienfreie" Darstellung von Lawvere's Theorem sein, freundlich gegenüber Menschen, für die die Kategorietheorie von Lawvere einschüchternd sein könnte.

— Joshua Grochow

Siehe auch cstheory.stackexchange.com/a/2830

— András Salamon

EDIT: Hinzufügen der Einschränkung, dass Rogers Fixpunktsatz kein Sonderfall von Lawvere ist.

Hier ist ein Beweis, der "nah" sein kann ... Er verwendet Rogers Festkomma-Theorem anstelle von Lawvere's Theorem. (Weitere Informationen finden Sie im Kommentarbereich weiter unten.)

Sei die Kolmogorov-Komplexität von String . $K(x)$ $x$

Lemma . ist nicht berechenbar $K$ .

Beweis .

Nehmen wir für den Widerspruch an, dass berechenbar ist. $K$
$K'(x)$ $M$ $L(M) = \{x\}$
$c$ $|K(x) - K'(x)|\le c$ $x$
$f$ $f(\langle M \rangle) = \langle M' \rangle$ $L(M') = \{x\}$ $x$ $K(x) > |\langle M\rangle| + c$
$K$ $f$
$f$ $M_0$ $L(M_0) = L(M_0')$ $\langle M_0' \rangle = f(\langle M_0\rangle)$
$f$ $L(M_0) = \{x\}$ $K(x) > |\langle M_0\rangle| + c$
$K'(x) > |\langle M_0\rangle|$
$K'$ $K'(x) \le |\langle M_0 \rangle|$

— Neal Young
quelle

f : N ⇉ A^{N}

$f : \mathbb{N} \rightrightarrows A^\mathbb{N}$

A

$A$

f : B \to A^{B}

$f : B \to A^B$

A

$A$

Über meiner Gehaltsstufe, @AndrejBauer - Ich kenne mich mit Kategorietheorie nicht aus. Versucht, dies und Ihre Antwort hier zu lesen . Verstehe es immer noch nicht. Können Sie mir in Ihrem obigen Kommentar für Rogers 'Theorem sagen, was Sie für die Funktion annehmen (mit Typ ) und was ist ? Oder vielleicht ein passendes Tutorial vorschlagen?

f

$f$

f : N \vec{\to} A^{N}

$f:\mathbb{N}\overrightarrow{\rightarrow} A^{\mathbb{N}}$

A

$A$

— Neal Young

Folien 45 und 46 in math.andrej.com/wp-content/uploads/2007/05/syncomp-mfps23.pdf (die gute Nachricht ist, dass ich jetzt einen konkreten Plan und eine Frist für die Ausarbeitung einer umfangreichen Arbeit über synthetische Berechenbarkeit habe ).

— Andrej Bauer