Nachweis der Unentscheidbarkeit nicht durch Reduzierung des Halteproblems

Der übliche Weg, die Unentscheidbarkeit zu beweisen, ist die Reduktion von einem RE-vollständigen Problem, wie dem Halteproblem, der Gültigkeit in der Logik erster Ordnung, der Erfüllbarkeit von Diophantin-Gleichungen usw.

Es ist bekannt, dass es rekursiv aufzählbare, aber unentscheidbare Probleme gibt, die nicht RE-vollständig sind, sondern künstliche Konstruktionen (dh Mengen, die nur zum Anzeigen dieses "Dichte" -Ergebnisses definiert wurden).

Wie würde man es angehen, die Unentscheidbarkeit zu beweisen, ohne ein RE-vollständiges Problem zu lösen? Diagonalisierung?

Man kann ziemlich direkt zeigen, dass die Kolmogorov-Komplexität nicht berechenbar ist, siehe zB Sipser, 3. Auflage, Problem 6.23.

Überlegen Sie, wie ich das Problem der beständigen Vermutung bezeichne.

Als Eingabe wird eine Beschreibung einer Turingmaschine :$M$

• Wenn auf einem leeren Band akzeptiert, müssen Sie akzeptieren.$M$

• $M$

• $M$

(Natürlich ist dies keine richtige Sprache, sondern eher ein Vergleich der Berechenbarkeit eines Versprechensproblems.)

Nun, durch eine Modifikation von Turings Originalbeweis, ist es ziemlich einfach zu zeigen, dass das beständige Raten unentscheidbar ist (ich werde das als Übung für Sie belassen).

$A$$A$

Wenn Sie nach einem Beweis suchen, der weder a) eine Reduzierung eines bekannten vollständigen Problems noch b) eine einfache Diagonalisierung (auf die Ihre verschiedenen Kommentare hinweisen) ist, dann haben Sie meines Erachtens kein Glück. Alle Beweise, die mir bekannt sind, sind nicht durch Reduktion entstanden - auch nicht durch die anderen hervorragenden Antworten von Aaronson und Kjos-Hanssen -, sondern durch eine einfache Diagonalisierung.

Und all diese Diagonalisierungen sind im Wesentlichen der gleiche Beweis . Einige von ihnen sind geringfügige Varianten des Beweises, die geringfügig stärkere / schwächere Aussagen ergeben, aber die Beweise selbst sind typischerweise nur geringfügige Abweichungen. (Und all diese Beweise sind im Wesentlichen die gleichen wie Cantors ursprünglicher Beweis über Kardinalitäten, der den Beweisen für die Unvollständigkeit von Gödel und Chaitin entspricht, die alle nur Theorem-Versionen von Russells Paradoxon sind ... So sehr, dass auf einen Ich habe mich gefragt, ob man einen Satz, der besagt, dass es im Wesentlichen nur einen solchen Beweis gibt, auf irgendeine Art und Weise in umgekehrter Mathematik formalisieren kann.)

Es kann jedoch erwähnenswert sein, dass es Beweise für andere Aussagen - typischerweise mit einem anderen Geschmack - gibt, bei denen es sich um Diagonalisierungen handelt, die sich tatsächlich nachweislich von der Diagonalisierung unterscheiden, die verwendet wird, um beispielsweise die Unentscheidbarkeit des Halteproblems zu beweisen.