Über die kleine Menge Expansionsvermutung

Wenn ein Graph und ein , möchte man berechnen. . ( ) Die Erweiterung mit kleinen Mengen Vermutung "besagt, dass es NP-schwer ist zu bestimmen, ob dies unter oder über für$G=(V,E)$$\delta > 0$$h(G,\delta)=min_{\vert S\vert \leq \delta \vert V \vert } \phi(S)$$\phi(S) = \frac{ E(S,\bar{S}) }{d min \{\vert S \vert , n - \vert S\vert \} }$$\epsilon$$1-\epsilon$$\epsilon = 1/O(log(\frac{1}{\delta} ) )$

Für den Kontext stellt man fest, dass die Cheeger-Konstante ist, von der bekannt ist, dass sie NP-schwer zu binden ist. Aber es scheint Werte von (welche?) Zu existieren, für die in Polynomzeit berechnet werden kann?$h(G,\delta = \frac{1}{2})$$\delta$$\phi(G,\delta)$

Um die kleine Expansionsvermutung zu verstehen, scheint man diese Aussage zu beweisen:

• Wenn die Spanne der Laplace-Eigenvektoren von so dass ihre Eigenwerte kleiner als einige und wenn jedes erfüllt dann für jeden Satz , so dass wir haben$W$$G$$\lambda \in [0,1]$$w \in W$$\mathbb{E}_i[w_i^4 ] \leq C ( E_i [w_i ^2 ] )^2$$S$$\vert S \vert \leq \delta \vert V \vert$$\phi(S) \geq \lambda(1 - \sqrt{C \delta} )$

[Referenz, Lemma 8 hier, http://www.boazbarak.org/sos/files/lec2d.pdf ]

Meine Fragen sind:

• Wie hilft der obige Satz, die eingangs gemachte Vermutung zu verstehen? Wie ist die Beziehung zwischen den beiden?

• Warum sollten solche Vektoren existieren, wie im Satz gefordert? Was ist die Intuition hinter dem Betrachten eines solchen ?$w$$w$

• Was ist die Intuition hinter der Wahl dieses spezifischen Wertes von wie in der Aussage der Vermutung?$\epsilon$

Ich denke, das Folgende sollte Ihre Fragen beantworten, auch wenn es nicht genau in der gleichen Reihenfolge ist.

Die ursprüngliche Formulierung der kleinen Satz Expansions Vermutung besagt , dass, analog zu der einzigartigen Spiel Vermutung, für jeden existiert , so dass es NP-schwer ist , in einem Diagramm , um zu bestimmen , ob es ist die „JA“ Fall, in dem ein Satz mit Größe mit einer Erweiterung von weniger als oder der Fall "NEIN", in dem jeder Satz mit Größe eine Erweiterung von mindestens . Das Papier von Raghavendra, Steuerer und Tulsiani https://www.cs.cornell.edu/~dsteurer/papers/ssereductions.pdf zeigte, dass dies dem Fall entspricht, in dem$\epsilon >0$$\delta>0$$G$$\delta$$\epsilon$$\delta$$1-\epsilon$$\epsilon = O(\log (1/\delta))$und in der Tat der Fall, in dem im NO-Fall für jedes Mengen der Größe mindestens die gleiche Ausdehnung haben wie im " noisy Gaussian-Diagramm" (siehe das Papier) für die genaue Aussage). Der Grund für die Beziehung ist, dass dies die Beziehung zwischen diesen Parametern im Gaußschen Rauschgraphen ist. Dieses Ergebnis von Raghavendra et al. Kann als das kleine Analogon für die Erweiterung von Khot, Kindler, Mossell und O'Donnell angesehen werden, die ein ähnliches Ergebnis für einzigartige Spiele zeigten und eine sehr genaue Beziehung zwischen den Parametern ergaben (das in der einzigartigen Spieleinstellung als Alphabetgröße bezeichnet wird) und$\delta' \geq \delta$$\delta'$$\epsilon$$\epsilon = O(\log (1/\delta))$$1/\delta$$\epsilon$.

Das Ergebnis, das Sie in meinen Vorlesungsunterlagen erwähnt haben, stammt aus Abschnitt 8 meiner Arbeit mit Brandao, Harrow, Kelner, Steurer und Zhou ( https://www.cs.cornell.edu/~dsteurer/papers/hypercontract.pdf ). Was wir dort grob zeigen, ist, dass ein Graph genau dann ein kleiner Mengenexpander ist, wenn die Spanne von Eigenvektoren, die niedrigen Eigenwerten seines Laplace entsprechen, keinen "analytisch spärlichen" Vektor enthält.

Die Intuition ist folgende: Betrachten Sie die folgenden zwei Extreme:

1) Ein Zufallsvektor . In diesem Fall ist die Verteilung der Einträge von ungefähr die Gaußsche Verteilung, und dies erfüllt, dass .$w$$w$$\mathbb{E}_i w_i^4 = O(\mathbb{E}_i w_i^2)^2$

2) Ein Vektor , der der charakteristische Vektor einer Menge von Maß (dh er hat in den zur Menge gehörenden Koordinaten und in den anderen). In diesem Fall ist .$w$$\delta$$1$$0$$\mathbb{E}_i w_i^4 = \delta \gg \delta^2 = (\mathbb{E}_i w_i^2)^2$

Grob gesagt entspricht der Unterraum , der Eigenwerten entspricht, die kleiner als des Laplace sind, einer Menge, die im Diagramm höchstens expandiert . Wenn es also eine Menge mit Größe und einer solchen Erweiterung gibt, gibt es einen Vektor (nämlich die Projektion des charakteristischen Vektors dieser Menge auf ) mit . Die andere Richtung (die schwieriger zu beweisen ist, sich aber als wahr herausstellt) ist, dass wir , wenn es einen Vektor mit dieser Eigenschaft gibt, auch eine Menge mit -Maß mit nicht zu guter Expansion finden können.$W$$\epsilon$$\epsilon$$\delta$$w$$W$$\mathbb{E}_i w_i^4 \gg (\mathbb{E}_i w_i^2)^2$$w$$o(1)$