Gibt es einen allgemeinen Satz, der besagt, dass die bekanntesten Ergebnisse in Bezug auf die Verwendung reeller Zahlen tatsächlich verwendet werden können, wenn nur berechenbare reelle Zahlen betrachtet werden? Oder gibt es eine ordnungsgemäße Charakterisierung der Ergebnisse, die gültig bleiben, wenn nur die berechenbaren Realwerte berücksichtigt werden? Eine Nebenfrage ist, ob Ergebnisse in Bezug auf berechenbare reelle Zahlen bewiesen werden können, ohne dass alle reellen Zahlen berücksichtigt werden müssen, oder alles, was nicht berechenbar ist. Ich denke speziell an die Analysis und die mathematische Analyse, aber meine Frage ist in keiner Weise darauf beschränkt.
Ich nehme an, dass es eine Hierarchie von berechenbaren Reals gibt, die der Turing-Hierarchie entspricht (Ist das richtig?). Abstrahierter gibt es dann eine abstrakte Theorie des Real (ich bin nicht sicher, wie die Terminologie lauten soll), für die eine Reihe von Ergebnissen bewiesen werden konnte, die für die traditionellen reellen Zahlen, aber auch für berechenbare Realzahlen und gelten würden auf eine beliebige Ebene der Turing-Hierarchie berechenbarer Reals, falls vorhanden.
Dann könnte meine Frage möglicherweise lauten: Gibt es eine Charakterisierung von Ergebnissen, die in der abstrakten Realtheorie angewendet werden, wenn sie für traditionelle Realwerte bewiesen wurden? Und könnten diese Ergebnisse direkt in der abstrakten Theorie bewiesen werden, ohne die traditionellen Realitäten zu berücksichtigen?
Ich bin auch daran interessiert zu verstehen, wie und wann diese Theorien der Realitäten voneinander abweichen.
PS Ich weiß nicht, wo das in meine Frage passt. Ich erkannte, dass ein Großteil der Mathematik auf den Reals mit Topologie verallgemeinert wurde. So kann es sein, dass die Antwort auf meine Frage oder einen Teil davon dort zu finden ist. Möglicherweise steckt aber noch mehr dahinter.