Die randomisierte Abfragekomplexität des Problems der verbundenen Bäume

Eine wichtige Veröffentlichung von Childs et al.führte das "Problem der verbundenen Bäume" ein: ein Problem, das eine exponentielle Quantenbeschleunigung zulässt, die mit keinem anderen bekannten Problem vergleichbar ist. In diesem Problem erhalten wir einen exponentiell großen Graphen wie den folgenden, der aus zwei vollständigen Binärbäumen der Tiefe n besteht, deren Blätter durch einen Zufallszyklus miteinander verbunden sind. Wir erhalten das Label des ENTRANCE Vertex. Wir erhalten auch ein Orakel, das uns als Eingabe die Beschriftung eines beliebigen Scheitelpunkts und die Beschriftung seiner Nachbarn mitteilt. Unser Ziel ist es, den EXIT-Scheitelpunkt zu finden (der als einziger Scheitelpunkt 2. Grades in der Grafik neben dem ENTRANCE-Scheitelpunkt leicht zu erkennen ist). Wir können davon ausgehen, dass die Bezeichnungen lange zufällige Zeichenfolgen sind, so dass mit überwältigender WahrscheinlichkeitEin anderer Scheitelpunkt als der ENTRANCE-Scheitelpunkt ist ihm vom Orakel zu geben.

Childs et al. haben gezeigt, dass ein Quantum-Walk-Algorithmus diesen Graphen einfach durchlaufen und den EXIT-Vertex nach Poly (n) -Schritten finden kann. Im Gegensatz dazu zeigten sie auch, dass jeder klassische randomisierte Algorithmus exp (n) -Schritte benötigt, um den EXIT-Vertex mit hoher Wahrscheinlichkeit zu finden. Sie gaben ihre untere Schranke als Ω (2 ^{n / 6} ) an, aber ich glaube, dass eine genauere Untersuchung ihres Beweises Ω (2 ^{n / 2} ) ergibt . Das liegt intuitiv daran, dass mit überwältigender Wahrscheinlichkeit ein zufälliger Gang in der Grafik (selbst ein selbstausweichender Gang usw.) exponentiell lange im weiten mittleren Bereich stecken bleibt: Immer dann, wenn ein Wanderer auf den AUSGANG zusteuert Die viel größere Anzahl von Kanten, die vom EXIT weg weisen, wirkt als "abstoßende Kraft", die es zur Mitte hin zurückdrückt.

Sie haben das Argument formalisiert, um zu zeigen, dass ein randomisierter Algorithmus bis zum Aufrufen von ~ 2 ^{n / 2} Eckpunkten noch nicht einmal Zyklen im Diagramm gefunden hat: Der induzierte Subgraph, den er bisher gesehen hat, ist nur ein Baum, der Nr Informationen darüber, wo sich der EXIT-Scheitelpunkt befinden könnte.

Ich bin daran interessiert, die zufällige Abfragekomplexität dieses Problems genauer zu bestimmen. Meine Frage lautet:

Kann sich jemand einen klassischen Algorithmus ausdenken, der den EXIT-Vertex in weniger als ~ 2 ⁿ Schritten findet - zum Beispiel in O (2 ^{n / 2} ) oder O (2 ^{2n / 3} )? Kann alternativ jemand eine Untergrenze geben, die besser als Ω (2 ^{n / 2} ) ist?

(Beachten Sie, dass durch das Geburtstagsparadoxon, ist es nicht schwer Zyklen in der graphischen Darstellung nach O zu finden (2 ^{n / 2} ) Schritte. Die Frage ist , ob man verwendet die Zyklen keine Hinweise darauf zu erhalten , wo die EXIT Eckpunkt ist.)

Wenn jemand die Untergrenze nach Ω (2 ^{n / 2} ) verbessern kann , dann wäre dies meines Wissens das allererste nachweisbare Beispiel für ein Black-Box-Problem mit einer exponentiellen Quantenbeschleunigung, deren zufällige Abfragekomplexität größer als √N ist . (Wobei N ~ 2 ⁿ die Problemgröße ist.)

Update: Ich habe von Andrew Childs erfahren, dass Fenner und Zhang in dieser Notiz die randomisierte Untergrenze für verbundene Bäume explizit auf Ω (2 ^{n / 3} ) verbessern . Wenn sie gewillt wären, eine konstante (und nicht exponentiell kleine) Erfolgswahrscheinlichkeit zu akzeptieren, könnten sie meiner Meinung nach die Schranke auf Ω (2 ^{n / 2} ) weiter verbessern .

$O(n2^{n/2})$

$n/2$$O(2^{n/2})$$n+1$$X$$n+1$

$X$$Y$$O(2^{n/2})$$n/2$$Y$$n/2$$X$$Y$$Y$$O(2^{n/2})$$X_2$$n+2$

$n+3$$X_2$$n/2$$n/2$$X_2$

$n$$O(n2^{n/2})$

$X_t$$X_{t+1}$$t$$n/2$$t+2^{n/2}$$t$$n/2$$t+2^{n/2}$$X_t$.