Ist Eta-Äquivalenz für Funktionen mit Haskells seq-Operation kompatibel?

Lemma: Unter der Annahme einer Eta-Äquivalenz haben wir das (\x -> ⊥) = ⊥ :: A -> B.

Beweis: ⊥ = (\x -> ⊥ x)durch Eta-Äquivalenz und (\x -> ⊥ x) = (\x -> ⊥)durch Reduktion unter dem Lambda.

Der Haskell 2010-Bericht, Abschnitt 6.2, spezifiziert die seqFunktion durch zwei Gleichungen:

seq :: a -> b -> b
seq ⊥ b = ⊥
seq ab = b, wenn a ≠ ≠

Es wird dann behauptet "Folglich ist ⊥ nicht dasselbe wie \ x -> ⊥, da seq verwendet werden kann, um sie zu unterscheiden."

Meine Frage ist, ist das wirklich eine Folge der Definition von seq ?

Das implizite Argument scheint zu sein, dass seqwenn nicht berechenbar wäre seq (\x -> ⊥) b = ⊥. Ich konnte jedoch nicht beweisen, dass eine seqsolche nicht berechenbar wäre. Es scheint mir so einseq ob es sowohl monoton als auch kontinuierlich ist, was es in den Bereich der Berechenbarkeit bringt.

Ein Algorithmus, der für für einige zu suchen , indem er versucht, wie Seq funktionieren könnte implementieren , xwo f x ≠ ⊥durch die Domäne aufzuzählen , fbeginnend mit ⊥. Obwohl eine solche Implementierung, selbst wenn sie überhaupt möglich ist, ziemlich haarig wird, wenn wir sie seqpolymorph machen wollen .

Gibt es einen Beweis dafür , dass es keine berechenbaren ist , seqdie angibt , (\x -> ⊥)mit ⊥ :: A -> B? Alternativ gibt es einige Bau , seqdass sich identifizieren (\x -> ⊥)mit ⊥ :: A -> B?

Lassen Sie uns zunächst erläutern, wie seqsich von λ x unterscheidet . ⊥ :$\bot$$\lambda x . \bot$

bottom :: a
bottom = bottom

eta :: a -> b
eta x = bottom

-- This terminates
fortytwo = seq eta 42

-- This does not terminate
infinity = seq bottom 42

Es ist daher eine experimentelle Tatsache, dass in Haskell und λ x . ⊥ sind operativ unterscheidbar. Es ist auch eine Tatsache und eine ganz offensichtliche Tatsache, die berechenbar ist, weil Haskell sie berechnet. Soviel zu Haskell. Sie fragen nach der besonderen Formulierung der Haskell-Dokumentation. Ich habe es so gelesen, dass es die beiden gegebenen Gleichungen erfüllen soll, aber diese beiden Gleichungen reichen für die Definition von nicht aus . Hier ist der Grund: Ich kann Ihnen zwei Modelle des (einfach getippten) λ- Kalküls geben, in denen berechenbar ist und die angegebenen Gleichungen erfüllt, aber in einem der Modelle ⊥ und λ x . $\bot$$\lambda x . \bot$seqseqseq$\lambda$seq$\bot$$\lambda x . \bot$ stimmen zu, während sie im anderen nicht.

In einem einfachen domänentheoretischen Modell, in dem Ausdrücke im Bereich stetiger Funktionen [ D → E ] interpretiert werden, haben wir ⊥ = λ x . ⊥ offensichtlich. Nehmen Sie effektive Scott-Domains oder solche, um alles berechenbar zu machen. In einem solchen Modell ist es einfach zu definieren .$\lambda$$[D \to E]$$\bot = \lambda x . \bot$seq

Wir können auch ein Modell von Kalkül , in dem unterscheidet ⊥ und λ x . ⊥ und dann kann natürlich die η- Regel nicht gelten. Zum Beispiel können wir dies tun, indem wir Funktionen in der Domäne [ D → E ] ⊥ interpretieren , dh der Funktionsraumdomäne mit einem zusätzlichen Boden. Nun ist ⊥ der Boden von [ D → E ] ⊥ , während λ x . ⊥ ist das Element direkt darüber. Sie können nicht durch Anwendung unterschieden werden, weil sie beide zu auswerten$\lambda$seq$\bot$$\lambda x . \bot$$\eta$$[D \to E]_\bot$$\bot$$[D \to E]_\bot$$\lambda x . \bot$ , egal auf was Sie sie anwenden (sie sind in ihrerAusdehnung gleich$\bot$). Aber wir haben seqals Karte zwischen Domänen und es unterscheidet immer unten von allen anderen Elementen.

Beachten Sie, dass die von seqIhnen angegebene Spezifikation nicht deren Definition ist. So zitieren Sie den Haskell-Bericht: "Die Funktionsfolge wird durch die folgenden Gleichungen definiert : [und dann die von Ihnen angegebenen Gleichungen]".

Das vorgeschlagene Argument scheint zu sein, dass seq nicht berechenbar wäre, wenn seq (\ x -> ⊥) b = ⊥.

Ein solches Verhalten würde die Spezifikation von verletzen seq .

Wichtig ist, dass seqes polymorph seqist und nicht in Form von Dekonstruktoren (Projektionen / Mustervergleich usw.) für einen der beiden Parameter definiert werden kann.

Gibt es einen Beweis, dass es keine berechenbare Folge gibt, die (\ x -> ⊥) mit ⊥ :: A -> B identifiziert?

Wenn seq' (\x -> ⊥) b, könnte man meinen, wir könnten den ersten Parameter (der eine Funktion ist) auf einen bestimmten Wert anwenden und dann ⊥ ausgeben. Aber, seqkann niemals den ersten Parameter mit einem Funktionswert identifizieren (auch wenn es eine längeren Verwendung sein geschieht seq) wegen seines parametrischen polymorphen Typs. Parametrizität bedeutet, dass wir nichts über die Parameter wissen. Außerdem seqkann man niemals einen Ausdruck nehmen und entscheiden "ist das ⊥?" (vgl. das Halting-Problem), seqkann nur versuchen, es zu bewerten, und selbst divergieren zu ⊥.

Was seqbedeutet, ist, den ersten Parameter auszuwerten (nicht vollständig, sondern auf "schwache Kopfnormalform" [1], dh auf den obersten Konstruktor) und dann den zweiten Parameter zurückzugeben. Wenn es sich bei dem ersten Parameter zufällig um ⊥eine nicht abschließende Berechnung handelt (dh um eine nicht abschließende Berechnung), führt die Auswertung dazu, dass die Berechnung seqnicht abgeschlossen wird, und somit seq ⊥ a = ⊥.

[1] Freie Theoreme in Gegenwart von seq - Johann, Voigtländer http://www.iai.uni-bonn.de/~jv/p76-voigtlaender.pdf

$\lambda x.\, \bot$$\lambda x.\, \bot$

Samson Abramsky hat sich vor langer Zeit mit diesem Thema befasst und einen Artikel mit dem Titel " The Lazy Lambda Calculus " geschrieben. Wenn Sie also formale Definitionen wünschen, sollten Sie hier nachsehen.

Beweis, dass λ x. Ω ‌ ≠ Ω in ist eines der Ziele, die Abramsky sich für seine Theorie der faulen Lambda-Rechnung setzt (Seite 2 seiner Arbeit) , die bereits von Uday Reddy zitiert wurde) setzt, weil beide in normaler Schwachkopfform vorliegen. Ab Definition 2.7 diskutiert er explizit die eta-Reduktion λ x. M x → M ist nicht allgemein gültig, aber es ist möglich, wenn M in jeder Umgebung endet. Dies bedeutet nicht, dass M eine Gesamtfunktion sein muss - nur, dass die Auswertung von M enden muss (z. B. durch Reduzieren auf ein Lambda).

Ihre Frage scheint von praktischen Bedenken (Leistung) motiviert zu sein. Obwohl der Haskell-Bericht möglicherweise nicht ganz klar ist, bezweifle ich, dass λ x gleichgesetzt wird. ⊥ ‌mit ⊥ würde eine nützliche Implementierung von Haskell ergeben; ob es Haskell '98 implementiert oder nicht, ist umstritten, aber angesichts der Bemerkung ist klar, dass die Autoren beabsichtigten, dass dies der Fall ist.

Schließlich, wie ist es, Elemente für einen beliebigen Eingabetyp zu generieren? (Ich weiß, dass QuickCheck die Arbitrary-Typenklasse dafür definiert, aber Sie dürfen hier keine solchen Einschränkungen hinzufügen.) Dies verletzt die Parametrizität.

Aktualisiert : Ich habe es nicht geschafft, dieses Recht zu codieren (weil ich nicht so fließend in Haskel bin), und um dies zu beheben, sind anscheinend verschachtelte runSTRegionen erforderlich . Ich habe versucht, mit einer einzelnen Referenzzelle (in der ST-Monade) solche beliebigen Elemente zu speichern, sie später zu lesen und universell verfügbar zu machen. Die Parametrizität beweist, dass das break_parametricityFolgende nicht definiert werden kann (außer durch Zurückgeben von bottom, z. B. eines Fehlers), während die Elemente wiederhergestellt werden könnten, die die vorgeschlagene Folge erzeugen würde.

import Control.Monad.ST
import Data.STRef
import Data.Maybe

produce_maybe_a :: Maybe a
produce_maybe_a = runST $ do { cell <- newSTRef Nothing; (\x -> writeSTRef cell (Just x) >> return x) `seq` (readSTRef cell) }

break_parametricity :: a
break_parametricity = fromJust produce_maybe_a

Ich muss zugeben, dass ich die Formalisierung des hier benötigten Parametrizitätsnachweises ein wenig unklar finde, aber diese informelle Verwendung von Parametrizität ist in Haskell Standard. aber ich habe aus Derek Dreyers Schriften gelernt, dass die nötige Theorie in den letzten Jahren schnell ausgearbeitet wird.

EDITs:

• Ich bin mir nicht einmal sicher, ob Sie diese Erweiterungen benötigen, die für ML-artige, imperative und untypisierte Sprachen studiert wurden, oder ob die klassischen Theorien der Parametrizität Haskell abdecken.
• Außerdem habe ich Derek Dreyer erwähnt, weil ich erst später auf Uday Reddys Werk gestoßen bin - das habe ich erst kürzlich aus "The essence of Reynolds" erfahren. (Ich habe erst im letzten Monat angefangen, Literatur über Parametrizität zu lesen).