Tut

Sei ein parametrisiertes Zählproblem , wobei der Parameter die Lösungskosten sind, z. B. das Zählen der Anzahl der Scheitelpunkte mit Größe in einem durch parametrisierten Graphen .$\Pi$$k$$k$

Angenommen, ist [1] -vollständig (ein bekanntes Problem wäre beispielsweise das Zählen der Anzahl einfacher Pfade der Länge in einem Graphen).$\Pi$$\#W$$k$

Ist es bedeuten , dass ist -hard (dh kein PTAS für das Problem besteht , es sei denn )?$\Pi$$APX$$P=NP$

Beachten Sie, dass es bei der Erörterung eines Parameters, bei dem es sich um die Lösungskosten handelt, sinnvoll ist, die Näherungshärte (z. B. siehe diese Frage ) im Gegensatz zu anderen gängigen Parametrisierungen zu erörtern .

$\mathrm{W}[1]$-Härte impliziert, dass ein Problem keine Eptas hat, es sei denn (zumindest)$\mathrm{W}[1] = \mathrm{FPT}$(Ein Eptas impliziert eine parametrisierte Traktierbarkeit für die Standardparametrierung der Lösungsgröße), aber es gibt Probleme mit einem Ptas , das -hard ist (dh nicht -hard, es sei denn$\mathrm{W}[1]$$\mathrm{APX}$$\mathrm{APX} = \mathrm{PTAS}$).

Übertragen auf $\#\mathrm{W}[1]$-Härte, man kann zumindest sagen, dass a $\#\mathrm{W}[1]$-hard Problem hat noch keine eptas , aber ich denke nicht, dass eine stärkere Aussage a priori gemacht werden kann . In Bezug auf Spekulationen vermute ich, dass dies auch nicht der Fall ist$\mathrm{APX}$-Härte folgt sofort aus $\#\mathrm{W}[1]$-Härte im Allgemeinen, obwohl vielleicht etwas für höhere Klassen gesagt werden kann, wie die Zählversion von $\mathrm{para}\text{-}\mathrm{NP}$.