Warum sind alle Probleme in FPTAS auch in FPT?

Laut dem Wikipedia-Artikel über Polynom-Zeit-Approximationsschemata :

Alle Probleme in FPTAS sind mit festen Parametern nachvollziehbar.

Dieses Ergebnis überrascht mich - diese Klassen scheinen sich völlig zu unterscheiden. FPTAS charakterisiert Probleme dadurch, wie einfach sie zu approximieren sind, während FPT Probleme durch ihre Schwierigkeit relativ zu bestimmten Parametern charakterisiert. Leider bietet Wikipedia (zum Zeitpunkt, an dem ich diese Frage stelle) kein Zitat dafür an.

Gibt es einen Standardnachweis für dieses Ergebnis? Oder gibt es eine Quelle, die ich konsultieren könnte, um mehr über diese Verbindung zu erfahren?

— templatetypedef
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Dies ist ein Satz von Cai und Chen (JCSS97), die besagt , „ wenn ein NP Optimierungsproblem eine vollen Polynom-Zeit Approximationsschema hat, dann ist es lenkbar Parameter fest. “ , Um die Papiersort auf feste Parameter Lenkbarkeit und Approximierbarkeit von NP - Optimierung Probleme .

— Pål GD

Und als Folgerung erhalten Sie natürlich " Die NP-Optimierungsprobleme, die unter der gleichmäßigen Reduktion -hart sind, haben kein vollständig polynomiales Zeitnäherungsschema, es sei denn, $W[1]$ $W[1] = FPT$ "

— Pål GD

@ PålGD- Obwohl es scheint, dass die Wahl der Parametrisierung etwas willkürlich ist; Sie wählen den Parameter als Wert der optimalen Lösung für die Problemeingabe. Ich nehme an, das funktioniert technisch, obwohl es intellektuell nicht sehr erfüllend ist.

— Templatetypedef

Luke Mathieson gab unten eine sehr nette Antwort, und ich denke, das reicht aus, um Ihre Frage zu beantworten.

— Pål GD

Es gibt tatsächlich ein stärkeres Ergebnis; Ein Problem liegt in der Klasse wenn es ein fptas ^{1 hat} : eine Näherung, die in einer durch begrenzten Zeit begrenzten Zeit läuft) $\mathrm{FPTAS}$ $\varepsilon$ (dh Polynom sowohl in der Größe als auch im Approximationsfaktor). Es gibt eine allgemeinere Klassedie die angebundene Zeit) entspannt $(n+\frac{1}{\varepsilon})^{\mathcal{O}(1)}$ $\mathrm{EPTAS}$ - im wesentlichen eine-ähnliche Laufzeit in Bezug auf den Approximationsfaktor. $f(\frac{1}{\varepsilon})\cdot n^{\mathcal{O}(1)}$ $\mathrm{FPT}$

Es ist klar, dass eine Teilmenge von , und es stellt sich heraus, dass eine Teilmenge von im folgenden Sinne ist: $\mathrm{FPTAS}$ $\mathrm{EPTAS}$ $\mathrm{EPTAS}$ $\mathrm{FPT}$

Satz Wenn ein NPO-Problem ein $\Pi$ Eptas hat, dann ist , das durch die Kosten der Lösung parametrisiert wird, mit festen Parametern nachvollziehbar. $\Pi$

Der Satz und der Beweis werden in Flum & Grohe [1] als Satz 1.32 (S. 23-24) gegeben, und sie schreiben ihn Bazgan [2] zu, was ihn zwei Jahre vor Cai & Chens schwächerem Ergebnis (aber in Französisch) wiedergibt technischer Bericht).

Ich werde eine Skizze des Beweises geben, weil ich denke, dass es ein schöner Beweis des Satzes ist. Der Einfachheit halber mache ich die Minimierungsversion, mache mental nur die entsprechenden Inversionen für die Maximierung.

Beweis. Sei die Eptas für , dann können wir einen parametrisierten Algorithmus für konstruieren, der durch die Lösungskosten wie folgt parametrisiert wird : Bei gegebener Eingabe wir für Eingabe wobei wir $A$ $\Pi$ $A'$ $\Pi$ $k$ $(x,k)$ $A$ $x$ (dh wir wählen das angebundene Approximationsverhältnis $\varepsilon := \frac{1}{k+1}$ ). Seidie Lösung,die Kosten vonunddas tatsächliche Näherungsverhältnis vonzu, dh. $1+\frac{1}{k+1}$ $y$ $\text{cost}(x,y)$ $y$ $r(x,y)$ $y$ $\text{opt}(x)$ $\text{cost}(x,y) = r(x,y)\cdot \text{opt}(x)$

Wenn , dann übernehmen, wie es deutlich . Wenn die , lehnen Sie als $\text{cost}(x,y) \leq k$ $\text{opt}(x) \leq \text{cost}(x,y) \leq k$ $\text{cost}(x,y) > k$ alsist einEptasund $r(x,y) \leq 1+\frac{1}{k+1}$ $A$

opt (x) = \frac{cost (x, y)}{r (x, y)} \geq \frac{k + 1}{1 + \frac{1}{k + 1}} > k

$\text{opt}(x) = \frac{\text{cost}(x,y)}{r(x,y)} \geq \frac{k+1}{1+\frac{1}{k+1}} > k$

$A'$ $A$ $\Box$

$\mathrm{FPT}$ $\mathrm{EPTAS}$ $\mathrm{FPT}$

Fußnoten:

Ein fptas (äquivalent eptas oder ptas ) ist ein Näherungsschema, bei dem die Laufzeit wie oben beschrieben begrenzt ist. Die Klasse $\mathrm{FPTAS}$ (äquiv. $\mathrm{EPTAS}$ , $\mathrm{PTAS}$ ) ist die Menge der Probleme in $\mathrm{NPO}$ die haben ein solches Schema.

[1]: J. Flum und M. Grohe, Parametrisierte Komplexitätstheorie , Springer, 2006.
[2]: C. Bazgan. Schémas d'approximation et complexité paramétrée , Bericht der DEA, Université Paris Sud, 1995.

— Luke Mathieson
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