Wie berechnet man die Überlappung zwischen den empirischen Wahrscheinlichkeitsdichten?

Ich suche nach einer Methode zur Berechnung der Überlappungsfläche zwischen zwei Kerndichteschätzungen in R als Maß für die Ähnlichkeit zwischen zwei Stichproben. Um dies zu verdeutlichen, müsste ich im folgenden Beispiel die Fläche des violett überlappenden Bereichs quantifizieren:

library(ggplot2)
set.seed(1234)
d <- data.frame(variable=c(rep("a", 50), rep("b", 30)), value=c(rnorm(50), runif(30, 0, 3)))
ggplot(d, aes(value, fill=variable)) + geom_density(alpha=.4, color=NA)

Eine ähnliche Frage wurde hier diskutiert , mit dem Unterschied, dass ich dies eher für willkürliche empirische Daten als für vordefinierte Normalverteilungen tun muss. Das overlapPaket behandelt diese Frage, aber anscheinend nur für Zeitstempeldaten, was bei mir nicht funktioniert. Der Bray-Curtis-Index (wie in vegander vegdist(method="bray")Funktion des Pakets implementiert ) scheint ebenfalls relevant zu sein, jedoch wiederum für etwas andere Daten.

Ich interessiere mich sowohl für den theoretischen Ansatz als auch für die R-Funktionen, mit denen ich ihn implementieren könnte.

Der Überlappungsbereich von zwei Kerndichteschätzungen kann auf jeden gewünschten Genauigkeitsgrad angenähert werden.

1) Da die ursprünglichen KDEs wahrscheinlich über ein Raster ausgewertet wurden, kann die Übung so einfach sein, als ob man einfach an jedem Punkt und dann unter Verwendung der Trapezregel oder sogar einer Mittelpunktsregel.$\min(K_1(x),K_2(x))$

Wenn sich die beiden in unterschiedlichen Gittern befinden und nicht einfach im selben Gitter neu berechnet werden können, kann Interpolation verwendet werden.

$\frac{1}{h}K(\frac{x-x_i}{h})$

Die obigen Ausführungen von whuber sollten jedoch klar beachtet werden - dies ist nicht unbedingt eine sehr bedeutsame Sache.

Der Vollständigkeit halber habe ich Folgendes in R getan:

# simulate two samples
a <- rnorm(100)
b <- rnorm(100, 2)

# define limits of a common grid, adding a buffer so that tails aren't cut off
lower <- min(c(a, b)) - 1 
upper <- max(c(a, b)) + 1

# generate kernel densities
da <- density(a, from=lower, to=upper)
db <- density(b, from=lower, to=upper)
d <- data.frame(x=da$x, a=da$y, b=db$y)

# calculate intersection densities
d$w <- pmin(d$a, d$b)

# integrate areas under curves
library(sfsmisc)
total <- integrate.xy(d$x, d$a) + integrate.xy(d$x, d$b)
intersection <- integrate.xy(d$x, d$w)

# compute overlap coefficient
overlap <- 2 * intersection / total

Wie bereits erwähnt, ist die KDE-Generation und auch die Integration mit Unsicherheit und Subjektivität verbunden.

Erstens könnte ich mich irren, aber ich denke, Ihre Lösung würde nicht funktionieren, wenn es mehrere Punkte gibt, an denen sich die Kernel Density Estimates (KDE) überschneiden. Zweitens, obwohl das overlapPaket für die Verwendung mit Zeitstempeldaten erstellt wurde, können Sie es dennoch zum Schätzen des Überlappungsbereichs von zwei beliebigen KDEs verwenden. Sie müssen Ihre Daten nur so skalieren, dass sie zwischen 0 und 2π liegen.
Zum Beispiel :

# simulate two sample    
 a <- rnorm(100)
 b <- rnorm(100, 2)

# To use overplapTrue(){overlap} the scale must be in radian (i.e. 0 to 2pi)
# To keep the *relative* value of a and b the same, combine a and b in the
# same dataframe before rescaling. You'll need to load the ‘scales‘ library.
# But first add a "Source" column to be able to distinguish between a and b
# after they are combined.
 a = data.frame( value = a, Source = "a" )
 b = data.frame( value = b, Source = "b" )
 d = rbind(a, b)
 library(scales) 
 d$value <- rescale( d$value, to = c(0,2*pi) )

# Now you can created the rescaled a and b vectors
 a <- d[d$Source == "a", 1]
 b <- d[d$Source == "b", 1]

# You can then calculate the area of overlap as you did previously.
# It should give almost exactly the same answers.
# Or you can use either the overlapTrue() and overlapEst() function 
# provided with the overlap packages. 
# Note that with these function the KDE are fitted using von Mises kernel.
 library(overlap)
  # Using overlapTrue():
   # define limits of a common grid, adding a buffer so that tails aren't cut off
     lower <- min(d$value)-1 
     upper <- max(d$value)+1
   # generate kernel densities
     da <- density(a, from=lower, to=upper, adjust = 1)
     db <- density(b, from=lower, to=upper, adjust = 1)
   # Compute overlap coefficient
     overlapTrue(da$y,db$y)


  # Using overlapEst():            
    overlapEst(a, b, kmax = 3, adjust=c(0.8, 1, 4), n.grid = 500)

# You can also plot the two KDEs and the region of overlap using overlapPlot()
# but sadly I haven't found a way of changing the x scale so that the scale 
# range correspond to the initial x value and not the rescaled value.
# You can only change the maximum value of the scale using the xscale argument 
# (i.e. it always range from 0 to n, where n is set with xscale = n).
# So if some of your data take negative value, you're probably better off with
# a different plotting method. You can change the x label with the xlab
# argument.  
  overlapPlot(a, b, xscale = 10, xlab= "x metrics", rug=T)