Minimiert ein Median-unvoreingenommene-Schätzer die mittlere absolute Abweichung?

Dies ist eine Folgefrage, aber auch eine andere Frage als meine vorherige .

Ich habe auf Wikipedia gelesen, dass " ein median-unverzerrter Schätzer das Risiko in Bezug auf die von Laplace beobachtete absolute Abweichungsverlustfunktion minimiert ". Meine Monte-Carlo-Simulationsergebnisse stützen dieses Argument jedoch nicht.

Ich gehe davon aus einer Probe aus einem log-normalen Bevölkerung, , wobei μ und σ der log-Mittelwert und log-sd sind, β = exp ( μ ) = $X_1,X_2,...,X_N \sim \mbox{LN}(\mu,\sigma^2)$$\mu$$\sigma$$\beta = \exp(\mu)=50$

Der geometrische Mittelwertschätzer ist ein median-unverzerrter Schätzer für den Populationsmedian $\exp(\mu)$ .

wobeiμundσsind die log-log-Mittelwert und SD, μ und σ die MLE fürμundσ.$\hat{\beta}_{\mbox{GM}}= \exp(\hat{\mu})= \exp{(\sum\frac{\log(X_i)}{N})} \sim \mbox{LN}(\mu,\sigma^2/N)$$\mu$$\sigma$$\hat\mu$$\hat\sigma$$\mu$$\sigma$

Ein korrigierter Schätzer für den geometrischen Mittelwert ist ein Schätzer für den mittleren Bevölkerungswert.

$\hat{\beta}_{\mbox{CG}}= \exp(\hat{\mu}-\hat\sigma^2/2N)$

Ich generiere wiederholt Samples der Größe 5 aus dem LN . Die Replikationsnummer ist 10.000. Die durchschnittlichen absoluten Abweichungen, die ich erhalten habe, sind 25,14 für den Schätzer des geometrischen Mittels und 22,92 für den korrigierten geometrischen Mittelwert. Warum?$(\log(50),\sqrt{\log(1+2^2)})$

Übrigens betragen die geschätzten absoluten Abweichungen im Median 18,18 für den geometrischen Mittelwert und 18,58 für den korrigierten geometrischen Mittelwertschätzer.

Das verwendete R-Skript ist hier:

#```{r stackexchange}
#' Calculate the geomean to estimate the lognormal median.
#'
#' This function Calculate the geomean to estimate the lognormal
#' median.
#'
#' @param x a vector.
require(plyr)
GM <- function(x){
    exp(mean(log(x)))
}
#' Calculate the bias corrected geomean to estimate the lognormal
#' median.
#'
#' This function Calculate the bias corrected geomean using the
#' variance of the log of the samples, i.e., $\hat\sigma^2=1/(n-1)
# \Sigma_i(\Log(X_i)-\hat\mu)^2$
#'
#' @param x a vector.
BCGM <- function(x){
y <- log(x)
exp(mean(y)-var(y)/(2*length(y)))
}
#' Calculate the bias corrected geomean to estimate the lognormal
#' median.
#'
#' This function Calculate the bias corrected geomean using
#' $\hat\sigma^2=1/(n)\Sigma_i(\Log(X_i)-\hat\mu)^2$
#'
#' @param x a vector.
CG <- function(x){
y <- log(x)
exp(mean(y)-var(y)/(2*length(y))*(length(y)-1)/length(y))
}

############################

simln <- function(n,mu,sigma,CI=FALSE)
{
    X <- rlnorm(n,mu,sigma)
    Y <- 1/X
    gm <- GM(X)
    cg <- CG(X)
    ##gmk <- log(2)/GM(log(2)*Y) #the same as GM(X)
    ##cgk <- log(2)/CG(log(2)*Y)
    cgk <- 1/CG(Y)
    sm <- median(X)
    if(CI==TRUE) ci <- calCI(X)
    ##bcgm <- BCGM(X)
    ##return(c(gm,cg,bcgm))
    if(CI==FALSE) return(c(GM=gm,CG=cg,CGK=cgk,SM=sm)) else return(c(GM=gm,CG=cg,CGK=cgk,CI=ci[3],SM=sm))
}
cv <-2
mcN <-10000
res <- sapply(1:mcN,function(i){simln(n=5,mu=log(50),sigma=sqrt(log(1+cv^2)), CI=FALSE)})
sumres.mad <- apply(res,1,function(x) mean(abs(x-50)))
sumres.medad <- apply(res,1,function(x) median(abs(x-50)))
sumres.mse <- apply(res,1,function(x) mean((x-50)^2))
#```

#```{r eval=FALSE}
#> sumres.mad
      GM       CG      CGK       SM 
#25.14202 22.91564 29.65724 31.49275 
#> sumres.mse
      GM       CG      CGK       SM 
#1368.209 1031.478 2051.540 2407.218 
#```

Wenn wir einen Schätzer wählen $\alpha^+$ durch das Kriterium, dass es den erwarteten absoluten Fehler vom wahren Wert minimiert $\alpha$

$E=<|\alpha^+-\alpha|> = \int_{-\infty}^{\alpha^+} (\alpha^+-\alpha)f(\alpha) \mathrm{d}\alpha + \int^{\infty}_{\alpha^+} (\alpha-\alpha^+)f(\alpha)\mathrm{d}\alpha$

wir fordern

$\frac{dE}{d\alpha^+} = \int_{-\infty}^{\alpha^+} f(\alpha) \mathrm{d}\alpha - \int^{\infty}_{\alpha^+} f(\alpha) \mathrm{d}\alpha = 0$

das ist äquivalent zu $P(\alpha > \alpha^+) = 1/2$. So$\alpha^+$ ist der gezeigte Median nach Laplace im Jahr 1774.

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