Wann sollte der Stichprobenmedian als Schätzer für den Median einer logarithmischen Normalverteilung verwendet werden?

Ich selbst würde immer einen geometrischen Mittelwert verwenden, um einen logarithmischen Median zu schätzen. In der Industrie führt die Verwendung des Stichprobenmedians jedoch manchmal zu besseren Ergebnissen. Die Frage ist also, gibt es einen Grenzbereich / Punkt, ab dem der Stichprobenmedian zuverlässig als Schätzer für den Populationsmedian verwendet werden kann?

Das geometrische Mittel der Stichprobe ist MLE für den Median, jedoch nicht unverzerrt. Ein unverzerrter Schätzer wäre , wenn ist bekannt. In der Praxis wird ein voreingenommen korrigierten Schätzer verwendet wird (siehe unten) , da immer unbekannt ist. Es gibt Artikel, die besagen, dass dieser vorspannungskorrigierte Geomean-Schätzer aufgrund geringerer MSE und Unvoreingenommenheit besser ist. In der Realität kann ich jedoch argumentieren, dass die Bias-Korrektur seitdem keinen Sinn ergibt, wenn wir nur eine Stichprobengröße von 4 bis 6 haben $\hat{\beta}_{\mbox{CGM0}}=\exp(\hat{\mu}-\sigma^2/2N)$ $\sigma$ $\hat{\beta}_{\mbox{CGM}}$ $\sigma$

Unvoreingenommenheit bedeutet, dass der Schätzer um den wahren Populationsparameter zentriert ist und den Parameter weder unter- noch überschätzt. Bei einer positiv verzerrten Verteilung ist das Zentrum der Median und nicht der Mittelwert.
Die Invariante zur Transformation ist eine wichtige Eigenschaft in meinem aktuellen Bereich (Transformation zwischen DT50 und Degradationsrate k, k = log (2) / DT50). Sie erhalten unterschiedliche Ergebnisse basierend auf den Originaldaten und den transformierten Daten.
Bei begrenzter Stichprobengröße ist die mittlere Unparteilichkeit möglicherweise irreführend. Bias ist kein Fehler, ein unverzerrter Schätzer kann einen größeren Fehler liefern. Aus Bayes'scher Sicht sind die Daten bekannt und fest, der MLE maximiert die Wahrscheinlichkeit der Beobachtung der Daten, während die Vorspannungskorrektur auf festen Parametern basiert.

Der geometrische Mittelwertschätzer der Stichprobe ist MLE, median unverzerrt, unveränderlich gegenüber Transformationen. Ich denke, es sollte dem vorspannungskorrigierten Geomean-Schätzer vorgezogen werden. Habe ich recht?

$X_1,X_2,...,X_N \sim \mbox{LN}(\mu,\sigma^2)$

$\beta = \exp(\mu)$

$\hat{\beta}_{\mbox{GM}}= \exp(\hat{\mu})= \exp{(\sum\frac{\log(X_i)}{N})} \sim \mbox{LN}(\mu,\sigma^2/N)$

$\hat{\beta}_{\mbox{SM}}= \mbox{median}(X_1,X_2,...,X_N)$

$\hat{\beta}_{\mbox{CGM}}= \exp(\hat{\mu}-\hat\sigma^2/2N)$

$\mu$ $\sigma$ $\hat\mu$ $\hat\sigma$ $\mu$ $\sigma$

$\frac{1}{4Nf(m)^2}$

median unbiased-estimator lognormal

— Zhenglei
quelle

{\hat{β}}_{CGM}

$\hat{\beta}_{\mbox{CGM}}$

σ^{2}

$\sigma^2$

σ^{2}

$\sigma^2$

{\hat{σ}}^{2}

$\hat\sigma^2$

\hat{μ}

$\hat{\mu}$

\hat{σ}

$\hat{\sigma}$

\hat{μ}

$\hat\mu$

\hat{σ}

$\hat\sigma$

μ

$\mu$

σ

$\sigma$

Anscheinend wurde das Konzept der Unparteilichkeit bereits vor langer Zeit diskutiert. Ich denke, es ist ein Thema, das es wert ist, diskutiert zu werden, da mittlere Unparteilichkeit eine Standardanforderung für einen guten Schätzer ist, aber für kleine Stichproben bedeutet dies nicht so viel wie bei Schätzungen großer Stichproben.

Ich poste diese beiden Referenzen als Antwort auf meine zweite Frage im Beitrag.

Brown, George W. "Über die Schätzung kleiner Stichproben." Die Annalen der mathematischen Statistik, vol. 18, nein. 4 (Dezember 1947), S. 582–585. JSTOR 2236236.

Lehmann, EL "Ein allgemeines Konzept der Unvoreingenommenheit" The Annals of Mathematical Statistics, vol. 22, nein. 4 (Dezember 1951), S. 587–592. JSTOR 2236928

— Zhenglei
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