Wie ist die Verteilung der Differenz zweier nicht zentraler Student t-Variablen?

Lassen $X_1$ und $X_2$ iid nicht zentrale t Zufallsvariablen sein.

Ich interessiere mich für die Frage: Was ist die Verteilung von $X_1 - X_2$ ?

dh wie ist die Verteilung der Differenz zweier nicht zentraler Student t-Variablen?

Annehmen $d$ ist eine beobachtete Schätzung für beide $X1$ oder $X2$ im RCode die Wahrscheinlichkeitsfunktion für $d$ wird sein:

likelihood = function(x) dt(d*sqrt(N), df, ncp = x*sqrt(N))

wo d = an observed estimate of X1 or X2, x = parameter range (-Inf to Inf), N = sample size, und df = N - 1.

PS dt(x,df,ncp) ist das PDF einer nicht zentralen t-Verteilung, wobei das dritte Argument ncpder nicht zentrale Parameter ist.

r distributions mathematical-statistics random-variable

— Reza
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Für Leser, die nicht genau vertraut sind R, wäre es sehr hilfreich zu erklären, dass im Befehl dt(x,df,ncp) das dritte Argument ncpder Nicht-Zentralitätsparameter ist. Ihre Frage scheint also einfach zu sein: "Wie ist die Verteilung der Differenz zweier nicht zentraler Student-t-Variablen?" Wäre das eine faire Interpretation?

— whuber

Sie können die Methoden von stats.stackexchange.com/questions/152850/…

— kjetil b halvorsen

Die Bearbeitung macht nicht viel Sinn. Anstatt zu versuchen, mit unbekannten Fachbegriffen zu kommunizieren, sollten Sie eine Frage in Ihrer eigenen (klaren) Sprache stellen, damit wir verstehen, was Sie wirklich brauchen.

— whuber

"Standardfehler der Wahrscheinlichkeitsfunktion" ist eine Phrase, die keinen Sinn ergibt.

— kjetil b halvorsen

Antworten:

Sieht so aus, als wäre ich etwas spät dran. Wie auch immer, gemäß Owen (DB Owen, "Ein Überblick über Eigenschaften und Anwendungen der nichtzentralen t-Verteilung", Technometrics 10 (1968) 445-478), wenn x nichtzentral t-verteilt ist und $\nu > 2$ , dann

v a r [x] = \frac{ν}{ν - 2} + δ^{2} [\frac{ν}{ν - 2} - \frac{ν}{2} \frac{Γ^{2} ((ν - 1) / 2)}{Γ^{2} (ν / 2)}]

$var[x] = \frac{\nu}{\nu-2}+\delta^2[\frac{\nu}{\nu-2}-\frac{\nu}{2}\frac{\Gamma^2((\nu-1)/2)}{\Gamma^2(\nu/2)}]$ wo

ν = d f

$\nu = df$ und

δ = N C T

$\delta = NCT$ ist der Nicht-Zentralitätsparameter. Verwenden von

ν = 10

$\nu = 10$ und

δ = 5

$\delta = 5$ , var [x] = 3,1386, so dass die Varianz der Differenz von zwei davon 6,2773 beträgt. Ich habe generiert

10^{7}

$10^7$ dieser Unterschiede und gruppierte sie in ein Histogramm, das unten gezeigt wird. Die Varianz der

10^{7}

$10^7$ Unterschiede betrug 6,2779. Leider habe ich keine Ahnung, welche Funktion das Histogramm annähert.

— Ed V.
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Da Sie R verwenden und keine genaue Lösung benötigen, ist das distrPaket für R möglicherweise hilfreich, zumindest zum Erkunden.

Für feste Freiheitsgrade und Nicht-Zentralitätsparameter können Sie mit Code wie dem folgenden beginnen:

library(distr)

d1 <- Td(df=10, ncp=5)
d2 <- Td(df=10, ncp=5)

plot(d1)

dd <- d1 - d2
plot(dd)

Ich bin mir nicht sicher, wie ich die Nicht-Zentralität in Abhängigkeit von x einbeziehen soll.

— Greg Snow
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Die Absicht scheint darin zu bestehen, den Nicht-Zentralitätsparameter unter Verwendung von MLE zu schätzen. Zu diesem Zweck sollten Näherungen, wenn sie verwendet werden, relativ genau sein. Exploration ist gut, um ein Verständnis für die Funktion zu erlangen, aber es scheint nicht wahrscheinlich, dass es zu effektiven oder effizienten Lösungen für dieses zugrunde liegende Problem führt.

— whuber

@whuber, das ist genau richtig. Während eine leichte Abweichung im Fall von klein Nin Ordnung ist, ist eine genaue Verteilung der Differenz zweier nicht zentraler Student t-Variablen erforderlich.

— Reza

Warten Sie, ncp = x*sqrt(N)und df = N -1mein letztes Interesse ist es, den Standardfehler von ddin Ihrem Code zu erhalten?

— Reza

Wenn Ihr Ziel darin besteht, die Standardabweichung der Differenz von 2 Wohnmobilen zu ermitteln, müssen Sie nicht das PDF der Differenz ermitteln (was schwierig sein kann), um die Varianz (oder SD) der Differenz zu ermitteln.

— Wolfies

@wolfies, hast du in diesem Fall eine Lösung?

— Reza