Beweisen Sie, dass momentgenerierende Funktionen Wahrscheinlichkeitsverteilungen eindeutig bestimmen

In dem Text von Wackerly et al heißt es: "Sei und die momenterzeugende Funktion der Zufallsvariablen X bzw. Y. Wenn beide momenterzeugenden Funktionen existieren und für alle Werte von t haben X und Y die gleiche Wahrscheinlichkeitsverteilung. " Ohne einen Beweis, der den Rahmen des Textes sprengt. Scheaffer Young hat das gleiche Theorem auch ohne Beweis. Ich habe keine Kopie von Casella, aber die Google-Buchsuche schien den Satz darin nicht zu finden. $m_x(t)$ $m_y(t)$ $m_x(t) = m_y(t)$

Der Text von Gut scheint einen Umriss eines Beweises zu haben , bezieht sich jedoch nicht auf die "bekannten Ergebnisse" und erfordert auch die Kenntnis eines anderen Ergebnisses, dessen Beweis ebenfalls nicht erbracht wird.

Weiß jemand, wer dies ursprünglich bewiesen hat und ob der Beweis irgendwo online verfügbar ist? Wie würde man sonst die Details dieses Beweises eintragen?

Falls ich gefragt werde, nein, das ist keine Hausaufgabe, aber ich könnte mir vorstellen, dass dies möglicherweise jemandes Hausaufgabe ist. Ich nahm eine Kurssequenz basierend auf dem Wackerly-Text und habe mich eine Zeitlang über diesen Beweis gewundert. Also dachte ich mir, es wäre Zeit zu fragen.

— Chris Simokat
quelle

Verwandte : (i) Inversion von mgfs und (ii) Existenz der Moment erzeugenden Funktion und Varianz

— Kardinal

Wenn Sie Zugriff auf Billingsleys Wahrscheinlichkeits- und Maß- Text haben, wird dies in einem Abschnitt mit dem Titel "Die Methode der Momente" behandelt. (Entschuldigung für die Unbestimmtheit, da ich sie derzeit nicht zur Hand habe.) Wenn ich mich richtig erinnere, stützt sich der von ihm verwendete Beweis jedoch auf die entsprechenden Ergebnisse für charakteristische Funktionen, die möglicherweise nicht vollständig zufriedenstellend sind. Dies liegt mit Sicherheit (deutlich) außerhalb des erwarteten Hintergrunds von Wackerlys Text.

— Kardinal

Wow @cardinal, deine Antworten auf diese Fragen waren überlegen und sehr hilfreich. Danke und danke für die Textempfehlung, ich sollte mir ein Exemplar besorgen.

— Chris Simokat

@cardinal Ich habe auf Billigsley zugegriffen, bevor ich Ihre Notiz gesehen habe, und meiner vorherigen Antwort eine Beschreibung des Beweises hinzugefügt.

— Michael R. Chernick

Bezüglich der Geschichte ("Wer hat das ursprünglich bewiesen?") Scheint Laplace 1785 die charakteristische Funktion für diese Art von Werk verwendet zu haben und 1810 die allgemeine Inversionsformel (die der Schlüssel zum Beweis ist) entwickelt zu haben. Siehe Anders Hald , Eine Geschichte der mathematischen Statistik von 1750 bis 1930 , Kapitel 17.

— whuber

Antworten:

Der allgemeine Beweis dafür findet sich in Feller (Eine Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und ihre Anwendungen, Band 2) . Es ist ein Inversionsproblem mit der Laplace-Transformationstheorie. Haben Sie bemerkt, dass der MGF eine bemerkenswerte Ähnlichkeit mit der Laplace-Transformation aufweist? Für die Verwendung von Laplace Transformation sehen Sie Widder (Calcus Vol I) .

Nachweis eines Sonderfalls:

Angenommen, X und Y sind Zufallsvariablen, die beide nur mögliche Werte in { } annehmen . Nehmen wir weiter an, dass X und Y für alle t die gleiche mgf haben: Der Einfachheit halber lassen wir und definieren $0, 1, 2,\dots, n$

\sum_{x = 0}^{n} e^{t x} f_{X} (x) = \sum_{y = 0}^{n} e^{t y} f_{Y} (y)

$\sum_{x=0}^ne^{tx}f_X(x)=\sum_{y=0}^ne^{ty}f_Y(y)$

s = e^{t}

$s = e^t$

für

c_{i} = f_{X} (i) - f_{Y} (i)

$c_i = f_X(i) − f_Y (i)$

i = 0, 1, \dots, n

$i = 0, 1,\dots,n$

\sum_{x = 0}^{n} e^{t x} f_{X} (x) - \sum_{y = 0}^{n} e^{t y} f_{Y} (y) = 0

$\sum_{x=0}^ne^{tx}f_X(x)-\sum_{y=0}^ne^{ty}f_Y(y)=0$

\Rightarrow \sum_{x = 0}^{n} s^{x} f_{X} (x) - \sum_{y = 0}^{n} s^{y} f_{Y} (y) = 0

$\Rightarrow \sum_{x=0}^ns^xf_X(x)-\sum_{y=0}^ns^yf_Y(y)=0$

\Rightarrow \sum_{x = 0}^{n} s^{x} f_{X} (x) - \sum_{x = 0}^{n} s^{x} f_{Y} (x) = 0

$\Rightarrow \sum_{x=0}^ns^xf_X(x)-\sum_{x=0}^ns^xf_Y(x)=0$

\Rightarrow \sum_{x = 0}^{n} s^{x} [f_{X} (x) - f_{Y} (x)] = 0

$\Rightarrow\sum_{x=0}^ns^x[f_X(x)-f_Y(x)]=0$

\Rightarrow \sum_{x = 0}^{n} s^{x} c_{x} = 0 \forall s > 0

$\Rightarrow \sum_{x=0}^ns^xc_x=0~∀s>0$

c_{0}, c_{1}, \dots, c_{n}

$c_0, c_1,\dots,c_n$

c_{0} = c_{1} = \dots = c_{n} = 0

$c_0=c_1=\cdots= c_n=0$

0 = c_{i} = f_{X} (i) - f_{Y} (i)

$0=c_i=f_X(i)−f_Y(i)$

i = 0, 1, \dots, n

$i=0, 1,\dots,n$

$f_X(i)=f_Y(i)$ $i=0,1,\dots,n$

$X$ $Y$ $X$ $Y$

— Argha
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Hauptsächlich die Momenterzeugungsfunktion bestimmt die Verteilung eindeutig.

— Argha

Der Satz, den Sie diskutieren, ist ein grundlegendes Ergebnis in der Wahrscheinlichkeits- / Maßtheorie. Die Beweise wären eher in Büchern über Wahrscheinlichkeitsrechnung oder statistische Theorie zu finden. Ich fand das analoge Ergebnis für charakteristische Funktionen in Hoel Port und Stone, S. 205-208

Tucker S. 51-53

und Chung S. 151-155 Dies ist die dritte Ausgabe. Ich habe die zweite Ausgabe und beziehe mich auf die Seitenzahlen in der zweiten Ausgabe, die 1974 veröffentlicht wurde.

Der Beweis für die MGF war für mich schwieriger zu finden, aber Sie finden ihn in Billingleys Buch "Probability and Measure", S. 342-345. Satz 30.1 enthält den Satz, der das Moment-Problem beantwortet. Auf Seite 345 gibt Billingsley das Ergebnis an, dass die Hypothese für Satz 30.1 erfüllt ist und daher das Maß durch seine Momente bestimmt wird, wenn ein Wahrscheinlichkeitsmaß eine Momenterzeugungsfunktion M (s) hat, die für ein Intervall definiert ist, das 0 umgibt. Aber diese Momente werden durch M (s) bestimmt. Daher wird das Maß durch seine momenterzeugende Funktion bestimmt, wenn M (s) in einer Nachbarschaft von 0 existiert. Diese Logik beweist also zusammen mit dem Beweis, den er für Satz 30.1 gibt, das Ergebnis. Billingsley bemerkte auch, dass die Lösung zu Übung 26 ist.

— Michael R. Chernick
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Wo ist das in Chung? Meinten Sie zufällig Seiten 161-165? Dabei handelt es sich um charakteristische Funktionen , nicht um momenterzeugende Funktionen , wie vom OP gefordert.

— Kardinal

@ Kardinal Ja, ich weiß. Ich habe das Ergebnis für charakteristische Funktionen erwähnt, weil ich das bisher gefunden habe. Wie gesagt, die Seitenzahlen in Chung basieren auf der zweiten Auflage, die ich habe. Ich weiß nicht, wo es in der dritten Ausgabe erscheint. Ich denke, es sollte einige Quellen geben, die das Ergebnis für mgfs haben.

— Michael R. Chernick

Ich habe zugestimmt, weil ich auch Ihre Antwort schätze. Vielen Dank, dass Sie sich die Zeit genommen haben.

— Chris Simokat

$X$ $M_X(t)=Ee^{tX}$

$\delta>0$ $M_X(t) = M_Y(t) < \infty$ $t \in (-\delta,\delta)$ $F_X(t) = F_Y(t)$ $t \in \mathbb{R}$

Um zu beweisen, dass die Momenterzeugungsfunktion die Verteilung bestimmt, gibt es mindestens zwei Ansätze:

$M_X$ $(-\delta,\delta)$ $X$ $F_X$ $(EX^k)_{k\in\mathbb{N}}$ $M_X$
$M_X$ $(-\delta,\delta)\times i\mathbb{R} \subseteq \mathbb{C}$ $M_X(z)=Ee^{zX}$ $M_X(it)=\varphi_X(t)$ $t\in\mathbb{R}$ $\varphi_X$ $F_X$ Curtiss, JH Ann. Mathematik. Statistics 13: 430-433 und Verweise darauf.

Im Grundstudium arbeitet fast jedes Lehrbuch mit der Momentgenerierungsfunktion und gibt den obigen Satz an, ohne ihn zu beweisen. Es ist sinnvoll, weil der Beweis weitaus fortgeschrittenere Mathematik erfordert, als es das Grundstudium zulässt.

$\varphi_X(t)=Ee^{itX}$

— user334639
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Heutzutage sollten mgfs nicht ignoriert werden, da thry numerisch viel nützlicher ist als die charakteristische Funktion

— kjetil b halvorsen

Tatsächlich! Und doch habe ich noch nie ein Lehrbuch gesehen, das sich auf numerische Methoden konzentriert, aber tief genug in der Mathematik ist, um einen Beweis für den Satz der Einzigartigkeit zu liefern.

— user334639