Wie programmiere ich eine Monte-Carlo-Simulation von Bertrands Box-Paradoxon?

Das folgende Problem wurde auf der Mensa International Facebook-Seite veröffentlicht:

$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$

Der Post selbst hat über 1000 Kommentare erhalten, aber ich werde hier nicht näher auf die Debatte eingehen, da ich weiß, dass dies Bertrands Box-Paradoxon ist und die Antwort lautet . Mich interessiert hier, wie man dieses Problem mit einem Monte-Carlo-Ansatz beantwortet. Wie löst der Algorithmus dieses Problem?$\frac23$

Hier ist mein Versuch:

1. Generiere gleichmäßig verteilte Zufallszahlen zwischen und .$N$$0$$1$
2. Lassen Sie das Ereignis der Box enthält 2 Goldkugeln (Box 1) weniger als die Hälfte ausgewählt.
3. Zählen Sie die Zahlen , die weniger als und nenne das Ergebnis als .$0.5$$S$
4. Da es eine Gewissheit ist, eine Goldkugel zu erhalten, wenn die Box 1 ausgewählt ist, und es nur eine 50% ige Chance gibt, eine Goldkugel zu erhalten, wenn die Box 2 ausgewählt ist, ist die Wahrscheinlichkeit, eine Folge GG zu erhalten, $$P(B2=G|B1=G)=\frac{S}{S+0.5(N-S)}$$

Implementierung des obigen Algorithmus in R:

N <- 10000
S <- sum(runif(N)<0.5)
S/(S+0.5*(N-S))

Die Ausgabe des obigen Programms liegt bei was fast der richtigen Antwort entspricht, aber ich bin mir nicht sicher, ob dies der richtige Weg ist. Gibt es einen geeigneten Weg, um dieses Problem programmgesteuert zu lösen?$0.67$

Wie bei @Henry glaube ich nicht wirklich, dass Ihre Lösung ein Monte Carlo ist. Sicher, Sie nehmen ein Beispiel aus der Distribution, aber es hat nicht viel damit zu tun, den Datenerzeugungsprozess zu imitieren. Wenn Sie Monte Carlo verwenden möchten, um jemanden davon zu überzeugen, dass die theoretische Lösung korrekt ist, müssen Sie eine Lösung verwenden, die den Datenerzeugungsprozess imitiert. Ich würde es mir wie folgt vorstellen:

boxes <- list(
  c(0, 0),
  c(0, 1),
  c(1, 1)
)

count_successes = 0
count_valid_samples = 0

for (i in 1:5000) {
  sampled_box <- unlist(sample(boxes, 1)) # sample box
  sampled_balls <- sample(sampled_box)    # shuffle balls in the box

  if (sampled_balls[1] == 1) {            # if first ball is golden
    if (sampled_balls[2] == 1) {          # if second ball is golden
      count_successes = count_successes + 1
    }
    count_valid_samples = count_valid_samples + 1
  }
}
count_successes / count_valid_samples

oder mit "vektorisiertem" Code:

mean(replicate(5000, {       # repeat 5000 times, next calculate empirical probability
  x <- boxes[[sample(3, 1)]] # pick a box
  if (x[sample(2, 1)] == 1)  # pick a ball, check if it is golden
    return(sum(x) == 2)      # check if you have two golden balls in the box
  else
    return(NA)               # ignore if sampled ball is silver
  }), na.rm = TRUE)          # not count if silver

Beachten Sie, dass, da Sie davon ausgehen, dass die erste Kugel bereits gezogen wurde und sie golden ist, der obige Code einfach zwei Kästchen verwenden boxes <- list(c(0, 1), c(1, 1))und sie dann abtasten könnte x <- boxes[[sample(2, 1)]], der Code also schneller wäre, da er das 1/3 nicht ergeben würde Leerfahrten, die wir rabattieren. Da das Problem jedoch einfach ist und der Code schnell ausgeführt wird, können wir es uns leisten, den gesamten Datenerzeugungsprozess explizit zu simulieren, "um sicherzustellen", dass das Ergebnis korrekt ist. Außerdem ist dieser Schritt nicht erforderlich, da er in beiden Fällen zu den gleichen Ergebnissen führen würde.

Ich glaube, Ihre S/(S+0.5*(N-S))Berechnung ist nicht wirklich eine Simulation

Versuchen Sie so etwas

N <- 10^6
ballsinboxes <- c("G","G", "G","S", "S","S")
selectedbox <- sample(c(1,2,3), N, replace=TRUE)
selectedball <- sample(c(1,2), N, replace=TRUE)
selectedcolour <- ballsinboxes[(selectedbox-1)*2 + selectedball ]
othercolour <- ballsinboxes[(selectedbox-1)*2 + 3 - selectedball ]
sum(selectedcolour == "G" & othercolour == "G") / sum(selectedcolour == "G")

Warum nicht einfach die Fälle auflisten?

Hier: G steht für "Gold", S steht für "Silber", Kapital für die anfängliche Gewinnung:

Gg

gG

Gs

... in allen anderen Fällen wird eine anfängliche Silber (S) -Extraktion vorausgesetzt und die Bedingung (anfängliche Extraktion G) nicht erfüllt.

So ist P (g | G) = 2/3.