Das ist unabhängig, wenn und wenn


8

Sei unabhängige Zufallsvariablen.XiGamma(α,pi),i=1,2,...,n+1

Definiere und . Zeigen Sie dann, dass unabhängig voneinander verteilt sind.Z1=i=1n+1XiZi=Xij=1iXj,i=2,3,...,n+1Z1,Z2,...,Zn+1

Die Verbindungsdichte von ist gegeben durch(X1,...,Xn+1)

fX(x1,...,xn+1)=[αi=1n+1pii=1n+1Γ(pi)exp(αi=1n+1xi)i=1n+1xipi1]Ixi>0,α>0,pi>0

Wir transformieren so, dassX=(X1,,Xn+1)Z=(Z1,,Zn+1)

Z1=i=1n+1Xi undZi=Xij=1iXj,i=2,3,...,n+1

xn+1=z1zn+1,

xn=z1zn(1zn+1),

xn1=z1zn1(1zn)(1xn+1),

x3=z1z3j=4n+1(1zj)

x2=z1z2j=3n+1(1zj)

x1=z1j=2n+1(1zj) , wobei und0<z1<0<zi<1,i=2,3,,n+1

Der Jacobi der Transformation istJ=(x1,...,xn+1)(z1,...,zn+1)=det(x1z1x1zn+1xn+1z1xn+1zn+1)

Durch Ausführen der Operation wir als Determinante vonR1=1n+1RiJ

(10000z23n+1(1zj)z13n+1(1zj)z34n+1(1zj)0z14n+1(1zj)zn(1zn+1)00z1(1zn+1)z1znzn+1000z1)

das entspricht .z1n(1z3)(1z4)2...(1zn)n2(1zn+1)n1

Nach einiger Vereinfachung erhalten wir die Verbindungsdichte von asZ

fZ(z1,...,zn+1)=i=1n+1fZi(zi)

wobeiZ1Gamma(α,1n+1pi),

Z2Beta1(p1,p2),

Z3Beta1(p3,p1+p2),

Zn+1Beta1(pn+1,1npi) ,

mit und ,0<z1<0<zi<1,i=2,3,,n+1

α>0 und für .pi>0i=1,2,...,n+1


Es ist unnötig zu erwähnen, dass das Auffinden der inversen Lösungen und das Bewerten des Jacobian umständlich und zeitaufwändig war. Neben der der Aufgabe werden auch die Verteilungen der .xiZi

Gibt es eine einfachere Möglichkeit, nur die Unabhängigkeit der zu zeigen ?Zi


Ich meinte in der rhs von . ...(1zn+1)xn1
Hartnäckig

Die einzige Möglichkeit, dies zu vereinfachen, besteht darin, die Induktion zu verwenden, dh mit dem Fall n = 1 zu beginnen und zu finden, dass und unabhängig sind, und dann die Unabhängigkeit von mit dem ( ) zu verwenden, um nur das hinzuzufügen nach Bedarf nacheinander. Z1Z2XiZjj<iXi
Aleshing

Bezogen auf die Dirichlet-Verteilung .
Hartnäckig

Antworten:


2

Ich werde die entsprechende Aussage beweisen.

Sei , , , unabhängig. Bezeichne , ; , . Dann sind , , , und unabhängig und .n1XkΓ(α,pk)k=1,,n+1Sk=X1++Xkk=1,,n+1Rk=SkSk+1k=1,,nR1R2RnSn+1Sn+1Γ(α,p1++pn+1)

Bemerkung In der OP-Notation ist , , .Z1=Sn+1Zk=1Rk1k=2,,n+1

Beweis . ist einfach (und bekannt).n=1

n1n .

Durch Induktionshypothese und Unabhängigkeit sind die Vektoren und unabhängig. Daher sind die Vektoren und sind unabhängig. Beide Vektoren haben unabhängige Komponenten: durch Induktionshypothesen durch Induktionsbasis. Daher sind ihre Komponenten unabhängige Zufallsvariablen.R=(R1,,Rn1)(Sn,Xn+1)R(SnSn+Xn+1,Sn+Xn+1)=(Rn,Sn+1)R(Rn,Sn+1)


Es ist kein Problem, die Verteilung von in die Anweisung aufzunehmen, der Beweis ändert sich nicht. Die Verteilung von ist bereits vorhanden: Ich brauche sie, um zu sagen, dass die Unabhängigkeit von und von der Induktionsbasis folgt.RnSnRnSn+1

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