Das ist unabhängig, wenn und wenn

Sei unabhängige Zufallsvariablen. $X_i\sim\text{Gamma}(\alpha,p_i),i=1,2,...,n+1$

Definiere und . Zeigen Sie dann, dass unabhängig voneinander verteilt sind. $Z_1=\sum_{i=1}^{n+1}X_i$ $Z_i=\frac{X_i}{\sum_{j=1}^iX_j},\quad i=2,3,...,n+1$ $Z_1,Z_2,...,Z_{n+1}$

Die Verbindungsdichte von ist gegeben durch $(X_1,...,X_{n+1})$

f_{X} (x_{1}, . . ., x_{n + 1}) = [\frac{α^{\sum_{i = 1}^{n + 1} p_{i}}}{\prod_{i = 1}^{n + 1} Γ (p_{i})} \exp (- α \sum_{i = 1}^{n + 1} x_{i}) \prod_{i = 1}^{n + 1} x_{i}^{p_{i} - 1}] I_{x_{i} > 0}, α > 0, p_{i} > 0

$f_{\bf X}(x_1,...,x_{n+1})=\left[\frac{\alpha^{\sum_{i=1}^{n+1}p_i}}{\prod_{i=1}^{n+1}\Gamma(p_i)}\exp\left(-\alpha\sum_{i=1}^{n+1}x_i\right)\prod_{i=1}^{n+1}x_i^{p_i-1}\right]\mathbf I_{x_i>0}\quad,\alpha>0,p_i>0$

Wir transformieren so, dass $\mathbf X=(X_1,\cdots,X_{n+1})\mapsto\mathbf Z=(Z_1,\cdots,Z_{n+1})$

$Z_1=\sum_{i=1}^{n+1}X_i$ und $Z_i=\frac{X_i}{\sum_{j=1}^iX_j},\quad i=2,3,...,n+1$

$\implies x_{n+1}=z_1z_{n+1},$

$\qquad x_n=z_1z_n(1-z_{n+1}),$

$\qquad x_{n-1}=z_1z_{n-1}(1-z_n)(1-x_{n+1}),$

$\qquad\vdots$

$\qquad x_3=z_1z_3\prod_{j=4}^{n+1}(1-z_j)$

$\qquad x_2=z_1z_2\prod_{j=3}^{n+1}(1-z_j)$

$\qquad x_1=z_1\prod_{j=2}^{n+1}(1-z_j)$ , wobei und $0<z_1<\infty$ $0<z_i<1,\quad i=2,3,\cdots,n+1$

Der Jacobi der Transformation ist $J=\dfrac{\partial(x_1,...,x_{n+1})}{\partial(z_1,...,z_{n+1})}=\det\begin{pmatrix}\frac{\partial x_1}{\partial z_1} &\cdots& \frac{\partial x_1}{\partial z_{n+1}} \\ &\ddots\\\frac{\partial x_{n+1}}{\partial z_1} &\cdots& \frac{\partial x_{n+1}}{\partial z_{n+1}}\\\end{pmatrix}$

Durch Ausführen der Operation wir als Determinante von $R_1'=\sum_1^{n+1}R_i$ $J$

$\begin{pmatrix}1&0&0&\cdots&0&0 \\z_2\prod_3^{n+1}(1-z_j)& z_1\prod_3^{n+1}(1-z_j) \\ z_3\prod_4^{n+1}(1-z_j)&0& z_1\prod_4^{n+1}(1-z_j)\\&&&\ddots\\z_n(1-z_{n+1})&0&0&\cdots&z_1(1-z_{n+1})& -z_1z_n \\z_{n+1}&0&0 &\cdots&0& z_1\\\end{pmatrix}$

das entspricht . $z_1^n(1-z_3)(1-z_4)^2...(1-z_n)^{n-2}(1-z_{n+1})^{n-1}$

Nach einiger Vereinfachung erhalten wir die Verbindungsdichte von as $\bf Z$

$f_{\bf Z}(z_1,...,z_{n+1})=\prod_{i=1}^{n+1}f_{Z_i}(z_i)$

wobei $Z_1\sim \text{Gamma}(\alpha,\sum_1^{n+1}p_i),$

$\qquad Z_2\sim \text{Beta}_1(p_1,p_2),$

$\qquad Z_3\sim \text{Beta}_1(p_3,p_1+p_2),$

$\qquad \vdots$

$\qquad Z_{n+1}\sim \text{Beta}_1(p_{n+1},\sum_1^np_i)$ ,

mit und , $0<z_1<\infty$ $0<z_i<1,\quad i=2,3,\cdots,n+1$

$\alpha>0$ und für . $p_i>0$ $i=1,2,...,n+1$

Es ist unnötig zu erwähnen, dass das Auffinden der inversen Lösungen und das Bewerten des Jacobian umständlich und zeitaufwändig war. Neben der der Aufgabe werden auch die Verteilungen der . $x_i$ $Z_i$

Gibt es eine einfachere Möglichkeit, nur die Unabhängigkeit der zu zeigen ? $Z_i$

— HartnäckigAtom
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Ich meinte in der rhs von .

. . . (1 - z_{n + 1})

$...(1-z_{n+1})$

x_{n - 1}

$x_{n-1}$

— Hartnäckig

Die einzige Möglichkeit, dies zu vereinfachen, besteht darin, die Induktion zu verwenden, dh mit dem Fall n = 1 zu beginnen und zu finden, dass und unabhängig sind, und dann die Unabhängigkeit von mit dem ( ) zu verwenden, um nur das hinzuzufügen nach Bedarf nacheinander.

Z_{1}

$Z_1$

Z_{2}

$Z_2$

X_{i}

$X_i$

Z_{j}

$Z_j$

j < i

$j<i$

X_{i}

$X_i$

— Aleshing

Bezogen auf die Dirichlet-Verteilung .

— Hartnäckig

Ich werde die entsprechende Aussage beweisen.

Sei , , , unabhängig. Bezeichne , ; , . Dann sind , , , und unabhängig und . $n\ge 1$ $X_k\sim \Gamma(\alpha,p_k)$ $k=1,\dots,n+1$ $S_k = X_1+\dots+X_k$ $k=1,\dots,n+1$ $R_k = \frac{S_k}{S_{k+1}}$ $k=1,\dots,n$ $R_1$ $R_2$ $\dots$ $R_{n}$ $S_{n+1}$ $S_{n+1}\sim \Gamma(\alpha,p_1+\dots + p_{n+1})$

Bemerkung In der OP-Notation ist , , . $Z_1=S_{n+1}$ $Z_k = 1 - R_{k-1}$ $k=2,\dots,n+1$

Beweis . ist einfach (und bekannt). $n=1$

$n-1\Rightarrow n$ .

Durch Induktionshypothese und Unabhängigkeit sind die Vektoren und unabhängig. Daher sind die Vektoren und sind unabhängig. Beide Vektoren haben unabhängige Komponenten: durch Induktionshypothesen durch Induktionsbasis. Daher sind ihre Komponenten unabhängige Zufallsvariablen. $\mathbf{R} = (R_1,\dots,R_{n-1})$ $(S_{n},X_{n+1})$ $\mathbf{R}$ $\big(\frac{S_{n}}{S_{n}+X_{n+1}},S_{n}+X_{n+1}\big) = (R_n,S_{n+1})$ $\mathbf R$ $(R_n,S_{n+1})$

Es ist kein Problem, die Verteilung von in die Anweisung aufzunehmen, der Beweis ändert sich nicht. Die Verteilung von ist bereits vorhanden: Ich brauche sie, um zu sagen, dass die Unabhängigkeit von und von der Induktionsbasis folgt. $R_n$ $S_n$ $R_n$ $S_{n+1}$

— zhoraster
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