Bitten Sie um Überprüfung eines einfachen Matrixergebnisses

Angenommen, ist ein Vektor von Zufallsvariablen. Dann überprüfen Sie bitte , ob . $X$ $k\times 1$ $EX^{\prime}(EXX^{\prime})^{-1}EX\leq 1$

Wenn dies ein bekanntes Ergebnis, dass . Aber wie soll ich das generell behaupten? $K=1$ $(EX)^{2}\leq EX^{2}$

— Jie Wei
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Lassen und . Dann müssen wir $\mu = EX$ $\Sigma = E(XX^T) - \mu\mu^T$

μ^{T.} (Σ + μ μ^{T.})^{- - 1} μ \leq 1.

$\mu^T (\Sigma + \mu\mu^T)^{-1}\mu \leq 1.$

$C = E(XX^T)$ $\Sigma = C - \mu\mu^T$ $C^{-1}$ $\Sigma^{-1}$ $\mu^T C^{-1}\mu\neq 1$ $\mu^T C^{-1} \mu = 1$ $\mu^T C^{-1}\mu\neq 1$

μ^{T.} (Σ + μ μ^{T.})^{- - 1} μ = μ^{T.} Σ^{- - 1} μ - - μ^{T.} (\frac{Σ^{- - 1} μ μ^{T.} Σ^{- - 1}}{1 + μ^{T.} Σ^{- - 1} μ}) μ = c - - \frac{c^{2}}{1 + c} = \frac{c}{1 + c} < 1

$\mu^T (\Sigma + \mu\mu^T)^{-1}\mu = \mu^T \Sigma^{-1}\mu - \mu^T \left(\frac{\Sigma^{-1}\mu\mu^T\Sigma^{-1}}{1 + \mu^T \Sigma^{-1}\mu}\right)\mu = c - \frac{c^2}{1+c} = \frac{c}{1+c} < 1$

Σ^{- 1}

$\Sigma^{-1}$

c \geq 0

$c \geq 0$

— jld
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