Ist der Durchschnitt von positiv-definitiven Matrizen auch positiv-definitiv?

Ist der Durchschnitt mehrerer positiv-bestimmter Matrizen notwendigerweise positiv-bestimmter oder positiver halb-bestimmter? Der Durchschnitt ist elementweise Durchschnitt.

Ja ist es. jth asnwer ist richtig (+1), aber ich denke, Sie können eine sehr einfache Erklärung mit nur der grundlegenden linearen Algebra erhalten.

Angenommen, und B sind positiv definierte Matrizen für Größe n . Per Definition bedeutet dies , dass für alle u ∈ R n , 0 < U T A u und 0 < u T B U . Dies bedeutet, dass 0 < u T A u + u T B u oder äquivalent 0 < u T ( A + B ) u ist . dh ( $A$$B$$n$$u \in R^n$$0 < u^TAu$$0 < u^TBu$$0 < u^TAu + u^TBu$$0 < u^T(A+B)u$ muss positiv definitiv sein.$(A+B)$

Natürlich. Die Menge positiver bestimmter Matrizen bildet einen Kegel , das heißt, sie wird unter positiven Linearkombinationen und Skalierungen geschlossen.