Bedingte Erwartung einer verkürzten RV-Ableitung, Gumbelverteilung (logistischer Unterschied)

Ich habe zwei Zufallsvariablen, die unabhängig und identisch verteilt sind, dh : $\epsilon_{1}, \epsilon_{0} \overset{\text{iid}}{\sim} \text{Gumbel}(\mu,\beta)$

F (ϵ) = \exp (- \exp (- \frac{ϵ - μ}{β})),

$F(\epsilon) = \exp(-\exp(-\frac{\epsilon-\mu}{\beta})),$

f (ϵ) = \frac{1}{β} \exp (- (\frac{ϵ - μ}{β} + \exp (- \frac{ϵ - μ}{β}))) .

$f(\epsilon) = \dfrac{1}{\beta}\exp(-\left(\frac{\epsilon-\mu}{\beta}+\exp(-\frac{\epsilon-\mu}{\beta})\right)).$

Ich versuche zwei Größen zu berechnen:

$E_{ϵ_{1}} E_{ϵ_{0} | ϵ_{1}} [c + ϵ_{1} | c + ϵ_{1} > ϵ_{0}]$ $\mathbb{E}_{\epsilon_{1}}\mathbb{E}_{\epsilon_{0}|\epsilon_{1}}\left[c+\epsilon_{1}|c+\epsilon_{1}>\epsilon_{0}\right]$
$E_{ϵ_{1}} E_{ϵ_{0} | ϵ_{1}} [ϵ_{0} | c + ϵ_{1} < ϵ_{0}]$ $\mathbb{E}_{\epsilon_{1}}\mathbb{E}_{\epsilon_{0}|\epsilon_{1}}\left[\epsilon_{0}|c+\epsilon_{1}<\epsilon_{0}\right]$

Ich komme zu einem Punkt, an dem ich eine Integration für etwas in der Form durchführen muss: $e^{e^{x}}$ , das in geschlossener Form kein Integral zu haben scheint. Kann mir jemand dabei helfen? Vielleicht habe ich etwas falsch gemacht.

Ich denke, es sollte definitiv eine geschlossene Lösung geben. (EDIT: Auch wenn es keine geschlossene Form ist, aber es würde eine Software geben, um das Integral schnell zu bewerten [wie Ei (x)], das wäre in Ordnung, nehme ich an.)

BEARBEITEN:

Ich denke mit einer Änderung der Variablen, lassen Sie

y = \exp (- \frac{ϵ_{1} - μ}{β})

$y =\exp(-\frac{\epsilon_{1}-\mu}{\beta})$ und

μ - β \ln y = ϵ_{1}

$\mu-\beta\ln y =\epsilon_{1}$

Dies wird bzw. . $[0,\;\infty)$ $\left[0,\;\exp(-\frac{\epsilon_{0}-c-\mu}{\beta})\right]$

$|J|=|\dfrac{d\epsilon}{dy}|=\frac{\beta}{y}$ . Dann habe ich unter dem Wechsel der Variablen (1) auf ...

\int_{0}^{\infty} \frac{1}{1 - e^{- x}} (\int_{μ - β \ln x - c}^{\infty} [c + μ - β \ln y] e^{- y} d y) e^{- x} d x

$\int_{0}^{\infty}\dfrac{1}{1-e^{-x}}\left(\int_{\mu-\beta\ln x-c}^{\infty}\left[c+\mu-\beta\ln y\right]e^{-y}dy\right)e^{-x}dx$

Es könnte ein Algebra-Fehler sein, aber ich kann dieses Integral immer noch nicht lösen ...

— wolfsatthedoor
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Es gibt definitiv keine geschlossene Lösung. Warum hast du das Gefühl, dass es etwas geben muss?

— Gordon Smyth

@GordonSmyth Woher weißt du, dass es keine geschlossene Lösung gibt?

— Wolfsatthedoor

Da die Parameter der Gumbel-Verteilung Position bzw. Skalierung sind, vereinfacht sich das Problem bei der Berechnung von wobei und zugeordnet sind , . Der Nenner ist in geschlossener Form verfügbar $(\mu,\beta)$

E [ϵ_{1} | ϵ_{1} + c > ϵ_{0}] = \frac{\int_{- \infty}^{+ \infty} x F (x + c) f (x) d x}{\int_{- \infty}^{+ \infty} F (x + c) f (x) d x}

$\mathbb{E}[\epsilon_1|\epsilon_1+c>\epsilon_0]= \frac{\int_{-\infty}^{+\infty} x F(x+c) f(x) \text{d}x}{\int_{-\infty}^{+\infty} F(x+c) f(x) \text{d}x}$

f

$f$

F

$F$

μ = 0

$\mu=0$

β = 1

$\beta=1$

\begin{aligned} \int_{- \infty}^{+ \infty} F (x + c) f (x) d x & = \int_{- \infty}^{+ \infty} \exp {- \exp [- x - c]} \exp {- x} \exp {- \exp [- x]} d x \\ \overset{a = e^{c}}{=} \int_{- \infty}^{+ \infty} \exp {- (1 + a) \exp [- x]} \exp {- x} d x \\ = \frac{1}{1 + a} {[\exp {- (1 + a) e^{- x}}]}_{- \infty}^{+ \infty} \\ = \frac{1}{1 + a} \end{aligned}

$\begin{align*} \int_{-\infty}^{+\infty} F(x+c) f(x) \text{d}x &= \int_{-\infty}^{+\infty} \exp\{-\exp[-x-c]\}\exp\{-x\}\exp\{-\exp[-x]\}\text{d}x\\&\stackrel{a=e^c}{=}\int_{-\infty}^{+\infty} \exp\{-(1+a)\exp[-x]\}\exp\{-x\}\text{d}x\\&=\frac{1}{1+a}\left[ \exp\{-(1+a)e^{-x}\}\right]_{-\infty}^{+\infty}\\ &=\frac{1}{1+a} \end{align*}$ Der Zähler enthält ein Exponentialintegral, da (laut WolframAlpha-Integrator ) = \ frac {\ gamma + \ log (1 + a)} {1 + a} \ end {align *} Daher

\begin{aligned} \int_{- \infty}^{+ \infty} x F (x + c) f (x) d x & = \int_{- \infty}^{+ \infty} x \exp {- (1 + a) \exp [- x]} \exp {- x} d x \\ \overset{z = e^{- x}}{=} \int_{0}^{+ \infty} \log (z) \exp {- (1 + a) z} d z \\ = \frac{- 1}{1 + a} {[Ei (- (1 + a) z) - \log (z) e^{- (1 + a) z}]}_{0}^{\infty} \\ = \frac{γ + \log (1 + a)}{1 + a} \end{aligned}

$\begin{align*} \int_{-\infty}^{+\infty} x F(x+c) f(x) \text{d}x &= \int_{-\infty}^{+\infty} x \exp\{-(1+a)\exp[-x]\}\exp\{-x\}\text{d}x\\ &\stackrel{z=e^{-x}}{=} \int_{0}^{+\infty} \log(z) \exp\{-(1+a)z\}\text{d}z\\ &= \frac{-1}{1+a}\left[\text{Ei}(-(1+a) z) -\log(z) e^{-(1+a) z}\right]_{0}^{\infty}\\ &= \frac{\gamma+\log(1+a)}{1+a} \end{align*}$

E [ϵ_{1} | ϵ_{1} + c > ϵ_{0}] = γ + \log (1 + e^{- c})

$\mathbb{E}[\epsilon_1|\epsilon_1+c>\epsilon_0]=\gamma+\log(1+e^{-c})$ Dieses Ergebnis kann leicht durch Simulation überprüft werden, da die Erzeugung einer Gumberl-Variation der Transformation von a entspricht Einheitliche (0,1) Variable, , als . Monte Carlo und theoretische Mittel stimmen überein:

U

$U$

X = - \log {- \log (U)}

$X=-\log\{-\log(U)\}$

— Xi'an
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Wussten Sie, dass epsilon0 auch ein Wohnmobil ist?

— Wolfsatthedoor