Paradox des Poisson-Prozesses mit mindestens einem Ereignis im Intervall

Lassen eine Anzahl von Ereignissen in Poisson Prozess der unitären Rate ( ) innerhalb Intervall der Länge . Es ist bekannt, dass mindestens ein Ereignis in dem Intervall beobachtet wurde. Ich möchte die Wahrscheinlichkeit ermitteln, dass sich mehr Ereignisse in dem Intervall befinden. $X_T$ $\lambda = 1$ $T$

Meine Intuition ist, dass $\Pr(X_T > 1 \mid X_T > 0) = \Pr(X_T > 0)$ .

Das Grundprinzip dahinter ist das

Wenn das beobachtete Ereignis zum Zeitpunkt $t$ vom Beginn des Intervalls war, reicht es aus, die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass weder in $(0, t)$ noch in $(t, T)$ offenen Intervallen ein Ereignis aufgetreten ist : $\Pr(X_T = 1 \mid X_T > 0) = \Pr(X_t = 0) \Pr(X_{T-t} = 0) = e^{-t} e^{t - T} = e^{-T} = \Pr(X_T = 0)$ ,
$\Pr(X_T > 1 \mid X_T > 0) = 1 - \Pr(X_T = 1 \mid X_T > 0) \\ \Pr(X_T > 0) = 1 - \Pr(X_T = 0) .$

jedoch

\begin{aligned} Pr (X_{T} > 1 ∣ X_{T} > 0) = \frac{Pr (X_{T} > 1, X_{T} > 0)}{Pr (X_{T} > 0)} = \frac{Pr (X_{T} > 1)}{Pr (X_{T} > 0)} \\ = & \frac{1 - Pr (X_{T} \in {1, 0})}{1 - Pr (X_{T} = 0)} = \frac{1 - T e^{- T} - e^{- T}}{1 - e^{- T}}, \end{aligned}

$\begin{align} & \Pr(X_T > 1 \mid X_T > 0) = \frac{\Pr(X_T > 1, X_T > 0)}{\Pr(X_T > 0)} = \frac{\Pr(X_T > 1)}{\Pr(X_T > 0)} \\[10pt] = {} & \frac{1 - \Pr(X_T \in \{1, 0\})}{1 - \Pr(X_T = 0)} = \frac{1 - Te^{-T} - e^{-T}}{1 - e^{-T}} , \end{align}$

was weder ich noch WolframAlpha als gleich beweisen können $\Pr(X_T > 0) = 1 - e^{-T}$ .

Da beide Ergebnisse nicht wahr sein können - wo ist mein Fehler?

Ich kann sehen, dass $X_T > 1$ und $X_T > 0$ stark abhängig sind. Ist das wichtig? Meine Intuition ist, dass $X_T > 0$ nur den Abtastraum ...

[EDIT # 1]

Ich habe einen weiteren Weg gefunden, um ... beide Ergebnisse zu unterstützen.

Wenn die Zeit des ersten Ereignisses im Intervall ist (ab dem Beginn des Intervalls), wird seine Verteilungsdichte alsDann ist $t$ $\operatorname{pdf}(t) = \frac{e^{-t}}{1 - e^{-T}}.$

Pr (X_{T} = 1 ∣ X_{T} > 0) = \int_{0}^{T} pdf (t) Pr (X_{T - t} = 0) d t = \int_{0}^{T} \frac{e^{- t} e^{t - T}}{1 - e^{- T}} d t = T \frac{e^{- T}}{1 - e^{- T}} .

$\Pr(X_T = 1 \mid X_T > 0) = \int_0^T \operatorname{pdf}(t) \Pr(X_{T-t} = 0) \, dt = \int_0^T \frac{e^{-t}e^{t - T}}{1 - e^{-T}} \, dt = T\frac{e^{-T}}{1 - e^{-T}} .$

Wenn ich jedoch ähnliche Schritte für gleichmäßig verteilte ( ) Zufallsereignisse im Intervall wiederhole und auch Ereignisse vor berücksichtige, ich immer noch $\operatorname{pdf}(t) = \frac 1 T$ $t$

Pr (X_{T} = 1 ∣ X_{T} > 0) = \int_{0}^{T} pdf (t) Pr (X_{t} = 0) Pr (X_{T - t} = 0) d t = \int_{0}^{T} \frac{e^{- T}}{T} d t = e^{- T} .

$\Pr(X_T = 1 \mid X_T > 0) = \int_0^T \operatorname{pdf}(t) \Pr(X_t = 0) \Pr(X_{T-t} = 0) \, dt = \int_0^T \frac{e^{-T}} T \, dt = e^{-T} .$

[EDIT # 2]

Follow-up aufgrund des Kommentars von @combo (über den Verlust der Konditionierung im ersten Ansatz).

Ich verstehe nicht, warum die Konditionierung verloren geht.

Stellen Sie sich eine Situation vor, in der wir ein Intervall der Länge mit mindestens einem Ereignis eines einheitlichen Poisson-Prozesses erstellen . Sei ein zufälliges Ereignis eines einheitlichen Poisson-Prozesses und ist eine Zufallsvariable, die gleichmäßig in . Dann ist ein Intervall der Länge das mindestens ein Ereignis enthält, bei (gleichmäßig verteilt) vom Beginn des Intervalls. Aufgrund der Unabhängigkeit der Ereignisse ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich keine Ereignisse mehr im Intervall befinden, , nicht wahr? Und es wird vorausgesetzt, dass es in dem Intervall mindestens ein Ereignis gab. $T$ $Y$ $t$ $(0,~T)$ $(Y~-~t,~Y~-~t~+~T)$ $T$ $t$ $\Pr(X_t == 0)\Pr(X_{T - t} == 0)$

Warum ist die Situation anders, wenn ich ein Intervall der Länge das mindestens ein Ereignis enthält? Die Zeit eines zufällig ausgewählten Ereignisses ( ; ab Beginn des Intervalls) ist gleichmäßig verteilt, daher sehe ich keinen Unterschied. $T$ $t$

— abukaj
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Warum geben Sie an, dass ? Ich verstehe nicht, warum dies der Fall sein sollte, und dies ist die Quelle Ihrer Probleme. Wenn ich es für mich selbst ausarbeite, bekomme ich die gleiche Antwort wie Ihr Ansatz Nr. 2.

P (X_{T} = 1 ∣ X_{T} > 0) = P (X_{t} = 0) P (X_{T - t} = 0)

$P(X_T = 1 \mid X_T > 0) = P(X_t = 0)P(X_{T-t} = 0)$

— Combo

@StefanJorgensen Ich verstehe deinen Standpunkt. Sollte es jedoch nicht ?

P (X_{t} = 1) P (X_{T - t} = 0) = t e^{- t} e^{- (T - t)} = t e^{- T}

$P(X_t=1)P(X_{T-t}=0) = te^{-t}e^{-(T-t)} = te^{-T}$

— Abukaj

@StefanJorgensen beantwortet Ihren zweiten Kommentar: Ich habe das Ereignis als einen Punkt angesehen, der das Intervall in zwei Teilintervalle mit unbekannter Anzahl von Ereignissen unterteilt.

— Abukaj

@StefanJorgensen Es ist wie die Beantwortung einer Frage: Wenn zum Zeitpunkt ein Ereignis aufgetreten ist, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass weder in noch in ein Ereignis aufgetreten ist .

t

$t$

(0, t)

$(0, t)$

(t, T)

$(t, T)$

— Abukaj

Außer dass die Gleichung einfach die Wahrscheinlichkeit ist, dass weder in noch in Ereignis vorliegt, und Ihre Konditionierung überhaupt nicht ausdrückt . Aus diesem Grund ist Ihre Antwort einfach die Wahrscheinlichkeit, dass es mindestens ein Ereignis gibt (weil die Konditionierung zu Beginn verloren gegangen ist), obwohl die Konditionierung tatsächlich das Ergebnis ändert.

P (X_{t} = 0) P (X_{T - t} = 0)

$P(X_t = 0)P(X_{T-t}=0)$

(0, t)

$(0,t)$

(t, T)

$(t,T)$

— Combo

Antworten:

Ich habe es endlich herausgefunden!

Nach dem Rat von @ combo werde ich den Begriff "Vorkommen" verwenden.

Überraschenderweise war der erste Teil der Begründung für meine Intuition fast richtig.

Wenn das beobachtete Auftreten zum Zeitpunkt vom Beginn des Intervalls war, reicht es aus, die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass weder in noch in offenen Intervallen ein Auftreten aufgetreten ist : . $t$ $(0, t)$ $(t, T)$ $\Pr(X_T = 1 \mid t) = \Pr(X_t = 0) \Pr(X_{T-t} = 0) = e^{-t} e^{t - T} = e^{-T} = \Pr(X_T = 0)$

Der Unterschied besteht darin, dass durch , was als kann. Dabei ist eine Länge des unendlich kleinen Intervalls . Da , können wir als Dichte im Punkt des einzigen sehen Auftreten innerhalb des Intervalls . $\Pr(X_T = 1 \mid X_T > 0)$ $\Pr(X_T = 1 \mid t)$ $\Pr(X_T = 1 \mid X_{dt} = 1)$ $dt$ $[t - \frac{dt}{2}, t + \frac{dt}{2}]$ $\Pr(X_T = 1, t) = e^{-T} dt$ $\operatorname{pdf}(t) = \Pr(X_T = 1 \mid t)$ $t$ $(0, T)$

Da der Wert von unbekannt ist, integrieren wir . So weit so gut - wir kennen die bedingungslose Wahrscheinlichkeit, genau ein Vorkommen im Intervall zu haben. Durch Konditionieren auf der Anteil des Abtastraums verworfen - daher ist es notwendig, jede verbleibende Wahrscheinlichkeit / Dichte um einen Faktor von zu normalisieren . $t$ $\int_0^T \operatorname{pdf}(t) dt = Te^{-T} = \Pr(X_T = 1)$ $X_T > 0$ $e^{-T}$ $\frac{1}{1 - e^{-T}}$

Die Intuition war also der Irrtum, Wahrscheinlichkeit mit Dichte zu verwechseln.

— abukaj
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Ein kurzer Hinweis zur Terminologie, um uns nicht zu verwirren: Ich werde etwas, das zu einem bestimmten Zeitpunkt passiert, eher als "Ereignis" als als "Ereignis" bezeichnen, um Verwechslungen mit der strengeren Definition eines Ereignisses als Element der Stichprobe zu vermeiden Platz.

Beginnen wir mit der Definition des Poisson-Zählprozesses. Sei die Anzahl der Vorkommen, die zum Zeitpunkt . Es hat die folgenden Eigenschaften: $N(t)$ $T$

$N(0) = 0$
$N(T_1), (N(T_2)- N(T_1))$ sind unabhängig für (unabhängige Inkrementeigenschaft) $T_1 < T_2$
Die Anzahl der Vorkommen in einem Intervall der Länge ist eine Poisson-Zufallsvariable mit dem Parameter (für unsere Zwecke ). $t$ $\lambda t$ $\lambda = 1$

Die Eigenschaft der unabhängigen Inkremente ist das, was Sie auslöst - insbesondere die Auswirkungen der strengen Ungleichung.

Wir stellen die Frage, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass ist , wenn ein Ereignis zum Zeitpunkt auftritt. Lassen Sie uns den Prozess nach Ihrem Ansatz in drei Segmente unterteilen. Für einige haben wir: und jetzt betrachten wir die Wahrscheinlichkeit $t \in [0,T]$ $N(T) = 1$ $\epsilon < \min\{t, T-t\}$

N (T) = (N (T) - N (t + ϵ)) + (N (t + ϵ) - N (t - ϵ)) + (N (t - ϵ) - N (0))

$N(T) = \left(N(T) - N(t+\epsilon) \right) + \left(N(t+\epsilon) - N(t-\epsilon) \right) + \left(N(t-\epsilon) - N(0)\right)$

\begin{aligned} lim_{ϵ \to 0} P (N (T) = 1 ∣ N (t + ϵ) - N (t - ϵ) = 1) \\ = lim_{ϵ \to 0} P (N (t - ϵ) - N (0) = 0, N (T) - N (t + ϵ) = 0 ∣ N (t + ϵ) - N (t - ϵ) = 1) \end{aligned}

$\begin{align*} &\lim_{\epsilon \to 0} P\left( N(T) = 1 \mid N(t+\epsilon) - N(t-\epsilon) = 1 \right)\\ &=\lim_{\epsilon\to 0} P\left( N(t-\epsilon) - N(0) = 0, N(T) - N(t+\epsilon) = 0 \mid N(t+\epsilon) - N(t-\epsilon) = 1\right) \end{align*}$ Beachten Sie, dass dies nicht ganz das ist, was Sie geschrieben haben. Es gibt zwei wesentliche Unterschiede:

Die Intervalle sind nicht disjunkt, so dass unabhängig von , und auch nicht unabhängig von . $N(t-\epsilon) - N(0)$ $N(T) - N(t+\epsilon)$ $N(t+\epsilon) - N(t-\epsilon)$
Die Intervalle haben alle ein positives Maß. Bei Ihrem Ansatz teilen Sie das Intervall in drei Teile auf: . Das Problem besteht darin, dass Sie jetzt auf das Ereignis konditionieren, dass ein Ereignis im Intervall auftritt mit dem Maß Null (weitere Informationen dazu, warum dies ein Problem ist, finden Sie in diesem Beitrag ). $[0,T]$ $[0,t), [t], (t,T]$ $[t]$

— Combo
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1. Ich bin etwas verwirrt über und im letzten Absatz. Meinen Sie damit, dass es eine Intervallüberlappung von size ? 2. Es mag ein Effekt der Verwirrung sein, aber ich sehe keinen Unterschied zwischen und vorausgesetzt, das Auftreten bei ist gegeben: .

ϵ

$\epsilon$

s

$s$

ϵ - s

$\epsilon - s$

lim_{s \to 0} P (N (t - s) - N (0) = 0, N (T) - N (t + s) = 0 ∣ N (t + s) - N (t - s) = 1)

$\lim_{s\to 0} P\left( N(t-s) - N(0) = 0, N(T) - N(t+s) = 0 \mid N(t+s) - N(t-s) = 1\right)$

lim_{s \to 0} P (N (t - s) - N (0) = 0, N (T) - N (t + s) = 0)

$\lim_{s\to 0} P\left( N(t-s) - N(0) = 0, N(T) - N(t+s) = 0\right)$

t

$t$

P (N (t + s) - N (t - s) = 1) = 1

$P\left( N(t+s) - N(t-s) = 1\right) = 1$

— Abukaj

Tut mir leid, ich wollte, dass sie gleich sind, aber mein Computer ist während der Bearbeitung gestorben. Der Unterschied ist genau die Quelle Ihrer Verwirrung: Das Ereignis ist nicht unabhängig vom Ereignis für . Wenn Sie versuchen, zu machen (mit Gleichheit, nicht mit dem Limit), ist das Intervall ein Singleton und Sie konditionieren eine Menge mit dem Maß Null.

{N (t - ϵ) - N (0) = 0, N (T) - N (t + ϵ) = 0}

$\{N(t-\epsilon)-N(0) = 0, N(T)-N(t+\epsilon) = 0\}$

{N (t + ϵ) - N (t - ϵ) = 1}

$\{N(t+\epsilon)-N(t-\epsilon) = 1\}$

ϵ > 0

$\epsilon > 0$

ϵ = 0

$\epsilon = 0$

— Combo

Nun, ich sehe die Abhängigkeit nicht. Es gelang mir jedoch, den Irrtum zu finden (siehe meine Antwort) - und da das Intervall wichtig war, also +1.

[t - ϵ, t + ϵ]

$[t - \epsilon, t + \epsilon]$

— Abukaj

Von Ihren beiden Herangehensweisen an das Problem scheint die zweite genau richtig zu sein. Es ist viel strenger und macht für mich vollkommen Sinn. Ich hatte jedoch etwas größere Schwierigkeiten, den ersten Ansatz zu verstehen, was Anlass zu der Annahme gab, dass dies die Quelle Ihres Fehlers ist.

Warum berechnen Sie aus Neugier zunächst ? Angesichts des gleichen Ansatzes, den Sie unten verwendet haben, sollte diese Wahrscheinlichkeit (soweit relevant) gleich was per Definition nicht gleich . Hoffe das hilft! $P(X_{T}=1|X_{T}>0)$ $\frac{Te^{-T}}{1-e^{-T}}$ $e^{-T}$

— Felix van Doorn
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Ich kann meinen Fehler im ersten Ansatz immer noch nicht sehen. Ich berechne es, da - siehe die Bearbeitung.

P (X_{T} > 1 | X_{T} > 0) = 1 - P (X_{T} = 1 | X_{T} > 0)

$P(X_T > 1| X_T > 0) = 1 - P(X_T = 1| X_T > 0)$

— Abukaj