Die Antwort ist negativ, aber das Problem kann behoben werden.
Um zu sehen, was schief geht, lassen Sie eine Student t-Verteilung mit zwei Freiheitsgraden haben. Seine hervorstechenden Eigenschaften sind, dass endlich ist, aber . Betrachten Sie die bivariate Verteilung von . Sei sein Verteilungselement (das singulär ist: es wird nur auf der Diagonale ). Entlang der Diagonale ist , woherE ( | X | ) E ( | X | 2 ) = ∞ ( X , X ) f ( x , y ) d x d y x = y | | ( x , y ) | | = | x | √XE(|X|)E(|X|2)=∞(X,X)f(x,y)dxdyx=y||(x,y)||=|x|2–√
E(||(X,X)||1)=E(2–√|X|)<∞
wohingegen
∬x1y1f(x,y)dxdy=∫x2f(x,x)dx=∞.
Analoge Berechnungen in Dimensionen sollten , dassp
∫⋯∫|x1|k|x2|k⋯|xp|kf(x1,…,xp)dx1⋯dxp
ist wirklich ein Moment der Ordnung , nicht . Weitere Informationen zu multivariaten Momenten finden Sie unter Sei ein Zufallsvektor. Werden te Momente von berücksichtigt? .pkkYkY
Um herauszufinden, welche Beziehungen zwischen den multivariaten Momenten und den Momenten der Norm bestehen sollten, benötigen wir zwei Ungleichungen. Sei ein beliebiger dimensionaler Vektor und sei positive Zahlen. Schreiben Sie für ihre Summe (was für alle impliziert ). Sei eine beliebige positive Zahl (in der Anwendung ist für die euklidische Norm, aber es stellt sich heraus, dass der Wert nichts Besonderes ist ). Schreiben Sie wie üblichx=(x1,…,xp)pk1,k2,…,kpk=k1+k2+⋯kpki/k≤1iq>0q=22
||x||q=(∑i|xi|q)1/q.
Wenden wir zunächst die AM-GM-Ungleichung auf die nicht negativen Zahlen mit den Gewichten . Dies besagt, dass das gewichtete geometrische Mittel das gewichtete arithmetische Mittel nicht überschreiten kann:|xi|qki
(∏i(|xi|q)ki)1/k≤1k∑iki|xi|q.
Überschätzen Sie die rechte Seite, indem Sie jedes durch ersetzen und die Potenz beider Seiten nutzen:ki/k1k/q
∏i|xi|ki=⎛⎝(∏i(|xi|q)ki)1/k⎞⎠k/q≤(∑i|xi|q)k/q=||x||kq.(1)
Überschätzen wir nun indem wir jeden Term durch den größten unter ihnen ersetzen , :||x||q|xi|qmax(|xi|q)=max(|xi|)q
||x||q≤(∑imax(|xi|q))1/q=(pmax(|xi|)q)1/q=p1/qmax(|xi|).
Wenn man Potenzen nimmt, ergibt sichkth
||x||kq≤pk/qmax(|xi|k)≤pk/q∑i|xi|k.(2)
Schreiben Sie als Notation
μ(k1,k2,…,kp)=∫⋯∫|x1|k1|x2|k2⋯|xp|kpf(x)dx.
Dies ist der Moment der Ordnung(k1,k2,…,kp) (und die Gesamtreihenfolge ). Durch die Integration gegen wird Ungleichung hergestelltkf(1)
μ(k1,…,kp)≤∫⋯∫||x||kqf(x)dx=E(||X||kq)(3)
und Ungleichung ergibt(2)
E(||X||kq)≤pk/q(μ(k,0,…,0)+μ(0,k,0,…,0)+⋯+μ(0,…,0,k)).(4)
Seine rechte Seite ist bis zu einem konstanten Vielfachen die Summe der univariaten Momente. Zusammen und zeigenkth(3)(4)
Die Endlichkeit aller univariaten Momente impliziert die Endlichkeit von .kthE(||X||kq)
Die Endlichkeit von impliziert die Endlichkeit aller für die .E(||X||kq)μ(k1,…,kp)k1+⋯+kp=k
Tatsächlich kombinieren diese beiden Schlussfolgerungen als Syllogismus zu zeigen , dass die Endlichkeit der univariaten Momente der Ordnung Endlichkeit aller multivariate Momente der Ordnung impliziert .kk
Somit,
Für alle ist der Moment der Norm genau dann endlich, wenn alle Momente der sind endlich.q>0kthLqE(||X||kq)k