Berechnung der bedingten Erwartung an

Ich habe nicht wirklich gesehen, dass Wahrscheinlichkeitsbücher die bedingte Erwartung berechnen, außer für $\sigma$ Algebren, die durch eine diskrete Zufallsvariable erzeugt werden. Sie geben einfach die Existenz der bedingten Erwartung zusammen mit ihren Eigenschaften an und belassen sie dabei. Ich finde das etwas ärgerlich und versuche, eine Methode zu finden, um es zu berechnen. Dies ist, was ich denke, dass es "sein sollte".

Sei $(\Omega, \mathscr{F},\mu)$ ein Wahrscheinlichkeitsraum mit $\mathscr{G}\subseteq \mathscr{F}$ a $\sigma$ Algebra. Sei $\xi:\Omega\to \mathbb{R}$ eine Zufallsvariable. Unser Ziel ist es, zu berechnen $E[\xi|\mathscr{G}]$ .

Fix $\omega\in \Omega$ , wir müssen berechnen $E[\xi|\mathscr{G}](\omega)$ . Lassen $A\in \mathscr{G}$ so beschaffen sein , $\omega\in A$ . Die Intuition sagt, dass $E[\xi|A] = \frac1{\mu(A)}\int_A \xi$ ist eine Annäherung an den Wert von $E[\xi|\mathscr{G}](\omega)$ , vorausgesetzt natürlich, dass $\mu(A) \not = 0$ was wir jetzt annehmen.

Die Intuition sagt auch, dass, wenn wir ein kleineres Ereignis $B\subseteq A$ mit $\omega\in B$ und $\mu(B) \not = 0$ , $E[\xi|B]$ ist eine bessere Annäherung an $E[\xi|\mathscr{G}](\omega)$ als $E[\xi|A]$ .

Daher die optimale solche Annäherung von sollte wobei , mit und mit der minimalen Eigenschaft . Die minimale Eigenschaft hier ist einfach , wenn mit , dann . $E[\xi|\mathscr{G}](\omega)$ $E[\xi|M]$ $M\in \mathscr{G}$ $\omega\in M$ $A\in \mathscr{G}$ $\omega\in A$ $M\subseteq A$

Es gibt jedoch zwei Probleme:

(i) Existiert ein solches überhaupt? Wenn höchstens zählbar ist, ist dies trivial wahr. Nehmen wir also an, dass tatsächlich zählbar ist. $M$ $\mathscr{G}$ $\mathscr{G}$

(ii) Was ist, wenn , dann ist ist undefiniert! In diesem Fall nehmen wir an, dass wir eine Folge von Ereignissen erzeugen können , so dass und . $\mu(M) = 0$ $E[\xi|M]$ $M_n\in \mathscr{G}$ $M_n \downarrow M$ $\mu(M_n) > 0$

Die Intuition sagt, dass

E [ξ | G] (ω) = lim_{n \to \infty} \frac{1}{μ (M_{n})} \int_{M_{n}} ξ = lim_{n \to \infty} \frac{1}{μ (M_{n})} \int_{Ω} ξ . 1_{M_{n}}

$E[\xi|\mathscr{G}](\omega) = \lim_{n\to \infty} \frac{1}{\mu(M_n)}\int_{M_n}\xi =\lim_{n\to \infty} \frac{1}{\mu(M_n)}\int_{\Omega} \xi.\mathbf{1}_{M_n}$

Zur Überprüfung der Realität impliziert der Satz der monotonen Konvergenz: Kontinuität im Maß impliziert, Somit liegt unsere Grenze in der unbestimmten Form " ", die ist was wir wollen.

\int_{Ω} ξ . 1_{M_{n}} \to \int_{Ω} ξ . 1_{M} = \int_{Ω} 0 = 0

$\int_{\Omega} \xi.\mathbf{1}_{M_n} \to \int_{\Omega} \xi.\mathbf{1}_{M} = \int_{\Omega} 0 = 0$

μ (M_{n}) \to μ (M) = 0

$\mu(M_n) \to \mu(M) = 0$

\frac{0}{0}

$\frac{0}{0}$

1) Berechnet diese Berechnung die bedingte Erwartung korrekt?

2) Was sind einige Annahmen zum Wahrscheinlichkeitsraum dafür?

— Nicolas Bourbaki
quelle

Nebenbei: Es ist ein bekannter Satz, dass keine Sigma-Algebren zählbar sind, daher muss Ihr (i) überarbeitet werden, da im Grunde genommen die Endlichkeit von

vorausgesetzt wird

| G |

$|\mathcal{G}|$

— Kardinal

@cardinal Die durch eine einfache Zufallsvariable erzeugte

Algebra kann gezählt werden.

σ

$\sigma$

— Nicolas Bourbaki

Die

Algebra einer einfachen Zufallsvariablen ist endlich, was zusammen mit dem oben erwähnten Ergebnis Ihr (i) erheblich vereinfacht.

σ

$\sigma$

— Kardinal

Sie sollten in das Borel-Paradoxon

— schauen

Dies beantwortet die Frage nicht, bietet jedoch eine Art "Gegenbeispiel". Nicht ganz, aber es geht um ein potenzielles Problem, das auftreten kann, wenn Sie Ihre Intuition verwenden, um die bedingte Annäherung zu approximieren.

Das Buch von Brezniak, "Basic Stochastic Processes", berechnet die folgende bedingte Erwartungsübung über die formale Definition. Ich habe sein Beispiel mit der im ursprünglichen Beitrag geforderten 'Approximationsmethode' überarbeitet.

Betrachten Sie das folgende Beispiel. mit das Standard-Lebesgue-Maß. $\Omega = [0,1]$ $\mu$

Definieren Sie die Zufallsvariablen, und . Wir werden berechnen . Bei ist die bedingte Erwartung sollte gleich $\xi(\omega) = 2\omega^2$ $\eta(\omega) = 1 - |2\omega - 1|$ $E[\xi|\eta]$ $\omega\in \Omega$ $E[\xi|\eta](\omega)$ . Das Ereignis ist jedoch die Menge , die vom Maß Null ist, und somit ist undefiniert. $E[\xi|\eta = \eta(\omega)]$ $(\eta = \eta(\omega))$ $\{ \omega,1-\omega\}$ $[\xi|\eta = \eta(\omega)]$

$A=\{\omega,1-\omega\}$ $\varepsilon > 0$ $A_{\varepsilon} = [\omega - \varepsilon,\omega + \varepsilon] \cup \{ 1 - \omega \}$ $A_{\varepsilon}$ $A$ $A$ $\varepsilon$ $\mu(A_{\varepsilon}) = 2\varepsilon$

E [ξ | A_{ε}] = \frac{1}{2 ε} \int_{ω - ε}^{ω + ε} 2 t^{2} d t \to 2 ω^{2}

$E[\xi|A_{\varepsilon}] = \frac{1}{2\varepsilon} \int_{\omega - \varepsilon}^{\omega + \varepsilon} 2t^2 ~ dt \to 2\omega^2$

$B_{\varepsilon} = [\omega - \varepsilon,\omega + \varepsilon] \cup [1- \omega - \varepsilon,1-\omega + \varepsilon]$

E [ξ | B_{ε}] = \frac{1}{4 ε} {\int_{ω - ε}^{ω + ε} 2 t^{2} d t + \int_{1 - ω - ε}^{1 - ω + ε} 2 t^{2} d t} \to ω^{2} + (1 - ω)^{2}

$E[\xi|B_{\varepsilon}] = \frac{1}{4\varepsilon} \left\{ \int_{\omega - \varepsilon}^{\omega + \varepsilon} 2t^2 ~ dt + \int_{1-\omega - \varepsilon}^{1-\omega + \varepsilon} 2t^2 ~ dt \right\} \to \omega^2 + (1-\omega)^2$

$A_{\omega}$ $\sigma$ $\xi$ $B_{\omega}$ $\sigma(\xi)$

— Nicolas Bourbaki
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