Reicht die logarithmische Transformation aus, um jede Verteilung zu zähmen?

Heute habe ich eine ziemlich bekannte Tatsache erkannt. Die logTransformation einer Zufallsvariablen, die aus einer Fettschwanzverteilung gezogen wird, wird in eine exponentielle Schwanzverteilung abgebildet . Meine Frage ist sehr einfach:

Reicht der Logarithmus aus, um jede Verteilung zu zähmen?

Ich kenne keine Distributionen, die extremer sind als die Pareto-Distribution, dann denke ich, aber ich weiß nicht, wie ich das beweisen soll. Dieser Zweifel ergab sich aus der Beobachtung, dass die Finanzleute ihre Zufallsvariablen mit Logarithmen zähmen, aber während der Finanzbeben sehr schlechte Zeiten zu haben scheinen.

Die Antwort ist nein. Sie können solche Verteilungen erstellen, die nach Protokoll ungezähmt sind, indem Sie dem Beispiel der Log-Cauchy-Verteilung folgen .

Betrachten Sie die folgenden Situationen:

• Wenn Ihre Verteilung diskret ist und nur wenige unterschiedliche Werte annimmt, "zähmt" das Erstellen von Protokollen im Allgemeinen nichts. zB 99,9% Chance von 2,8 und 0,1% Chance von zehn Milliarden, nehmen Sie natürliche Protokolle und Sie haben 99,9% Chance von 1,03 und 0,1% Chance von 23 (ish). Nehmen Sie die Protokolle erneut und Sie haben eine 99,9% ige Chance von 0,03 und eine 0,1% ige Chance von ~ 3,14. Nehmen Sie die Protokolle erneut und Sie haben eine 99,9% ige Chance von -3,53 und eine 0,1% ige Chance von ~ 1,14. In jedem Fall bleibt Ihre Verteilung ein skalierter Bernoulli, daher hat sie genau die gleiche Schiefe ( ) und genau den gleichen Anteil der Verteilung über 3,10 hinaus und 30 sd über dem Mittelwert. $\gamma_1 \approx 31.5$

• Wenn Ihre Verteilung symmetrisch ist oder nur einen leichten rechten Versatz aufweist, führt das Aufnehmen von Protokollen häufig zu einem deutlichen linken Versatz (und wenn Ihre Verteilung einen linken Versatz aufweist, führt das Aufnehmen von Protokollen im Allgemeinen zu einem stärkeren linken Versatz).

• Nehmen Sie eine beliebige Zufallsvariable mit einer Verteilung, die Sie als "nur" innerhalb der Grenze von "zahm" betrachten (so eingerichtet, dass definitiv nicht zahm ist), wie auch immer Sie sie messen möchten. Exponentiiere zweimal ( ). Wenn Protokolle nur einmal erstellt werden, wird sie durch dieses Maß an Zahmheit als "nicht zahm" eingestuft.$X$$e^X$$Y=e^{(e^X)}$

• Wie Nick Cox in Kommentaren betont, können Sie keine Protokolle von Werten erstellen, die nicht positiv sind. Betrachten Sie eine symmetrische Verteilung auf der realen Linie, die im Schwanz "nicht zahm" ist (sie muss nicht auf 0 zentriert sein) , aber lass uns das trotzdem machen). Sie können nicht einmal Protokolle der Werte erstellen, die nicht positiv sind. Der Versuch, Protokolle zu erstellen, funktioniert also nicht.