Wie ist die Verteilung für die Zeit, bevor K Erfolge in N Versuchen erzielt werden?

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Angenommen, es gibt ein Telefonzentrum und N Personen, von denen jede entweder das Telefonzentrum zum Zeitpunkt T mit der Wahrscheinlichkeit p anruft, nicht das Telefonzentrum mit der Wahrscheinlichkeit (1 - p). Leute können nur einmal anrufen. Was ist die erwartete Zeit, bevor K Leute anrufen? T wird als zufällige Exponentialvariable verteilt.

Ich löse dies rechnerisch in R, indem ich N Beobachtungen aus T zeichne, Stichproben mit Wahrscheinlichkeit (1 - p) verwerfe, die verbleibenden Beobachtungen sortiere und die K-te auswähle.

Gibt es einen gemeinsamen Weg, dies analytisch zu tun?

r probability stochastic-processes order-statistics

— Rodrigo Stv
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Könnten Sie das Modell genauer angeben: Ist das richtig: Jede der

N

$N$ Personen tätigt unabhängig einen Anruf mit der Wahrscheinlichkeit

p

$p$ . In dem Fall, dass sie den Anruf tätigen, wird die Wartezeit bis zum Anruf exponentiell verteilt, mit einem bekannten Parameter

λ

$\lambda$ . Dann fragen wir nach der

k

$k$ ten Ordnungsstatistik der Anrufe?

— kjetil b halvorsen

Ja, das ist richtig. Und dann fragen wir nach der Zeit des K-ten Anrufs.

— Rodrigo Stv

2

Und was werden Sie tun, wenn (vermutlich mit geringer Wahrscheinlichkeit) größer ist als die tatsächliche Anzahl der realisierten Anrufe?

K

$K$

— kjetil b halvorsen

Rodrigo, können Sie Ihren R-Code einfügen, um mit dem Problem genau so zu spielen, wie Sie es erklären?

— Antoni Parellada

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Angenommen, sind iid mit der Exponentialverteilung der Einheit mit der Dichte . (Sie können die Ergebnisse an eine andere Rate anpassen). Aber jedes (die Wartezeit, bevor Person anruft) wird nur mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit , und mit der Wahrscheinlichkeit der Anruf nicht getätigt und wir beobachten nicht, dass . Die Anzahl der realisierten Aufrufe hat die Binomialverteilung . Ordnen Sie die Variablen also neu an, sodass die realisierten Aufrufe (abhängig von ) . Dann nehme ich das an $X_1,X_2,\dotsc,X_N$ $f(x) = e^{-x}, x\ge 0$ $X_i$ $i$ $p$ $1-p$ $X_i$ $r$ $\text{bin}(N,p)$ $r$ $X_1,\dotsc,X_r$ $K\le r$ , Sie haben nach der Verteilung der Auftragsstatistik gefragt . Nun ist die Theorie der exponentiellen Ordnungsstatistik besonders einfach. Verwenden Sie daher die Ergebnisse aus dem Buch: Barry Arnold: "Ein erster Kurs in der Ordnungsstatistik", den ich hier nicht wiederholen werde (aber die Beweise sind wirklich einfach und können es sein Hier zu finden: /math/80475/order-statistics-of-iid-exponential-distributed-sample ), transformieren Sie die Ordnungsstatistik in exponentielle Abstände, gegeben durch Dann ist das überraschende und einfache Ergebnis, dass die Variablen in exponentiellen Einheiten verteilt sind. $X_{K:r}$

Z_{1} = r X_{1 : r}, Z_{2} = (r - 1) (X_{2 : r} - X_{1 : r}) ⋮ Z_{r} = X_{r : r} - X_{r - 1 : r} .

$Z_1 = r X_{1:r}, \\ Z_2 = (r-1)(X_{2:r}-X_{1:r}) \\ \vdots \\ Z_r = X_{r:r}-X_{r-1:r}.$

Z_{1}, Z_{2}, \dots, Z_{r}

$Z_1, Z_2, \dotsc,Z_r$

Durch eine Algebra erhalten wir, dass die gleiche Verteilung wie , eine lineare Kombination unabhängiger exponentieller Zufallsvariablen. Wenn alle Koeffizienten in der linearen Kombination gleich wären, wäre dies eine Gammaverteilung. Jetzt handelt es sich um eine kompliziertere Distribution, die beispielsweise unter http://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/03610928308828483?journalCode=lsta20 untersucht wurde. $X_{K:r}$ $\sum_{i=1}^K \frac1{r-i+1} Z_i$

Nun müssen Sie entscheiden, was Sie für den Fall tun möchten, dass . Abgesehen von diesem Problem benötigen Sie jetzt einfach die Mischungsverteilung von über die Binomialverteilung von . $K>r$ $X_{K:r}$ $r$

— kjetil b halvorsen
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Wenn N fest ist und K zufällig ist, ist die Anzahl der Erfolge K so, dass . Es ist nicht garantiert, dass Sie K-Erfolge für ein festes K erzielen, wenn N ebenfalls fest ist. $K \sim Bin(N,p)$

Wenn N zufällig ist und K fest ist und Sie sich über die Verteilung der Anzahl der Versuche N wundern, bis K Erfolge erzielt werden, dann ist N (beachten Sie, dass verschiedene Texte unterschiedliche Definitionen haben des negativen Binomials - manchmal zählen sie nur Fehler anstatt Gesamtversuche). $\sim NegBin(K,p)$

Die Summe von k IID-Standard-Expos ist Gamma (k, 1).

Unter der Annahme des negativen Binomialszenarios haben Sie und . $T \mid N \sim Gamma(N,1)$ $N \sim NegBin(K,p)$

Ich weiß nicht, ob es eine schöne Formel für dieses hierarchische Modell gibt, aber Sie sollten in der Lage sein, die Erwartung leicht unter Verwendung des Gesetzes der Gesamterwartung zu erhalten, Konditionierung auf N. E (T) = E (E (T | N))

— frelk
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Die Zeit ist die -ten Ordnungsstatistik von iid Exponentialverteilungen wo binomischen mit Parametern verteilt ist . Jede Auftragsstatistik wird wie in dieser unten beschriebenen Lösung verteilt , die Sie über die Ergebnisse von mischen . $K$ $N'$ $N'$ $N, p$ $N'$

Lassen die Rate der sein . Dann wird die Statistik erster Ordnung von Exponentialverteilungen mit Rate exponentiell mit Rate da es so ist, als ob Poisson-Prozesse gegeneinander antreten und die Zeit des Gewinners dieselbe ist wie die Wartezeit der Überlagerung. Die Statistik zweiter Ordnung fügt eine Exponentialverteilung mit Rate da ein Poisson-Prozess weniger läuft und so weiter ... $\lambda$ $T$ $N'$ $\lambda$ $N' \lambda$ $N'$ $(N'-1)\lambda$

— Neil G.
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