Ich habe versucht, Cox 'Theorem und die damit verbundenen Probleme zu verstehen. Es gibt so viele Informationen zu diesem Thema, dass ich hinsichtlich des genauen Zustands des Satzes verwirrt bin. Ich habe festgestellt, dass es drei Hauptthemen gibt, aber da sie eine Vielzahl von Themen abdecken, habe ich sie in mehrere Fragen aufgeteilt. Ich hoffe, dass dies ausreichend eingegrenzt ist ( die ursprüngliche Frage ).
Meine Hauptreferenzen sind K. Van Horn, Ein Leitfaden zum Cox-Theorem, 2003, und A. Terenin & D. Draper, Rigorisierung und Erweiterung der Cox-Jaynes-Ableitung der Wahrscheinlichkeit, 2015 .
Dann ohne weiteres:
Halpern (Ein Gegenbeispiel zu den Theoremen von Cox und Fine, 1999; Wiederholung von Cox 'Theorem, 1999) hat behauptet, ein Gegenbeispiel zu Cox' Theorem konstruiert zu haben. Snow (Die Angemessenheit der Möglichkeit aus der Sicht von Cox, 2001) ist anderer Meinung und sagt, dass Cox implizit eine Annahme gemacht hat, die das Gegenbeispiel negiert. Paris (The Uncertain Reasoner's Companion, 1994) scheint diese Annahme zu formalisieren, aber die Konsequenz ist, dass die Cox-Jaynes-Wahrscheinlichkeitsfunktion keine endliche Domäne haben kann.
Halpern hält dies für problematisch, da es möglicherweise nicht selbstverständlich ist, einen unendlichen Satzraum zu postulieren. Snow und Van Horn haben jeweils ihre eigenen Argumente gegen Halperns Einwand. Van Horn (Ein Leitfaden zu Cox 'Theorem, 2003, S. 12-13) bemerkt, dass selbst wenn wir uns auf eine endliche Anzahl von Sätzen , es immer noch unendlich viele Plausibilitätswerte geben kann, wenn wir dies nicht tun. t beschränken Sie sich auf eine begrenzte Anzahl von Informationszuständen für diese Domäne. Snow (Zur Korrektheit und Vernünftigkeit von Cox 'Theorem for Finite Domains, 1998, Abschnitt 4) gibt Beispiele für Situationen, in denen eine unendliche Domäne erforderlich ist, um vernünftige Antworten zu geben.
Terenin & Draper (Rigorisierung und Erweiterung der Cox-Jaynes-Ableitung der Wahrscheinlichkeit, 2015, S. 8) behaupten, Van Horns Ansatz sei formal schwer zu bewerten, da ihm die Genauigkeit fehlt. Sie bemerken jedoch, dass:
Jaynes (2003) macht einen wichtigen Unterschied zwischen ontologischen Ausdrücken von Informationen (z. B. "es gibt Lärm im Raum"), die die Welt so beschreiben, wie sie ist, und solchen, die erkenntnistheoretisch sind (z. B. "der Raum ist laut"). Beschreiben Sie Ihre Informationen über die Welt. Es ist kein Widerspruch, eine endliche Anzahl von Weltzuständen anzunehmen (Ontologie), was sicherlich bei einigen Problemen zutrifft, und eine unzählige Anzahl von Aussagen zu verwenden, um Ihre Unsicherheit über diese Weltzustände zu beschreiben (Erkenntnistheorie); Letzteres ist eine Modellierungsentscheidung, die wir (und viele andere Bayes'sche Statistiker) treffen und die äußerst nützlich ist.
Das scheint im Geiste mit Van Horn übereinzustimmen, wenn ich alles richtig interpretiere.
Ich habe noch niemanden gesehen, der an Schnees Position schuld war, obwohl Jaynes (2003) feststellt:
Es ist sehr wichtig anzumerken, dass unsere Konsistenzsätze nur für Wahrscheinlichkeiten aufgestellt wurden, die endlichen Mengen von Sätzen zugewiesen wurden. Grundsätzlich muss jedes Problem mit solchen endlichen Wahrscheinlichkeiten beginnen; Eine Erweiterung auf [zählbar] unendliche Mengen ist nur zulässig, wenn dies das Ergebnis eines genau definierten und gut verhaltenen Begrenzungsprozesses aus einer endlichen Menge ist.
Was Snow nicht sicher widerspricht, aber zumindest noch einmal die Natürlichkeit unendlicher Domänen in Frage stellt.
S. Arnborg und G. Sjödin (Bayes-Regeln in endlichen Modellen, 2000) zeigen, dass die Annahme von Paris nicht notwendig ist, um den Satz zu rechtfertigen. Sie ersetzen seine Annahme durch schwächere und beweisen Cox 'Theorem für endliche Domänen. Ihre Methode funktioniert jedoch nicht für unendliche Domänen, was angesichts der Behauptung von Snow, dass die Unendlichkeit der Domäne natürlich ist, etwas problematisch erscheint.
Schließlich behaupten Terenin und Draper, Cox-Jaynes für unzählige unendliche Domänen zu formalisieren (2015, S. 7), obwohl ich nicht sicher bin, ob dies unendliche Sätze oder nur unendliche Plausibilitäten bedeutet (im Sinne des Informationszustands von Van Horn, dem erkenntnistheoretischer Sinn für Jaynes und / oder der Sinn für vernünftige Ergebnisse von Schnee).
Kurz gesagt, hier scheint es viele Meinungsverschiedenheiten zu geben. Es kann jedoch sein, dass ich Aussagen falsch interpretiere, daher möchte ich, dass jemand, der besser informiert ist, dies bestätigt.
Zusammenfassend:
Gibt es eine Übereinstimmung hinsichtlich der Endlichkeit - / (un) zählbar Unendlichkeit der Domänen im Cox-Jaynes-Ansatz?
Wenn nicht, was sind die genauen Probleme?